Под алгебраической структурой будем понимать некоторое множество
S с одной или несколькими операциями на нем.
Пусть S х S обозначает множество упорядоченных пар (α, β) где α,β ÎS . Тогда произвольное отображение из S х S в S будем называть бинарной операцией на множестве S.
В соответствии с этим определением результат применения операции над двумя элементами (α, β) однозначно определен и является непременно элементом множества S. Это так называемое свойство замкнутости операций.
Примером бинарных операций являются арифметические операции: сложения (+), вычитания (-), умножения (*), деления (/). Бинарную операцию, когда ее вид не уточняется, будем обозначать символом (*).
Будем использовать следующие числовые множества: N- множество натуральных чисел, Z - целых чисел, Q - рациональных, R - действительных.
Oтметим следующие два важных свойства бинарных операций. Определение 1.1. Операция (*) на множестве S коммутативна, если а(*) β = β (*)α для всех α, β ÎS .
Пример 1.1. Арифметическая операция сложения на Z коммутативна, а вычитание - нет.
Определение 1.2. Операция (*) на множестве S ассоциативна, если а(*)(*)у = а(*)( β (*),у) для всех а, β , у ÎS .
В определении использованы круглые скобки, чтобы определить порядок вычислений.
Если операция ассоциативна, то порядок вычислений не существен, и, следовательно, скобки не требуются.
Пример 1.2. Над Z имеем (2 + 3) + 4 = 2 + 3 + 4= 2 + (3 + 4), но (2 - 3) -
4 = -5 и 2 - (3 - 4) = 3, т.е. операция вычисляется не ассоциативно.
Полугруппы
Определение 1.3. Полугруппой называется множество S с бинарной операцией (*), которая удовлетворяет свойствам (аксиомам):
1) замкнутость;
2) ассоциативность.
Моноид.
Определение 1.4. Множество S называется моноидом, если для любой пары элементов множества S определена операция (*) и для нее выполняются следующие три свойства:
1) замкнутость;
2) ассоциативность;
3) S содержит единственный элемент е, называемый единицей S , такой, что для любого а из S: е(*)а =а(*)е = а .
Группы
Определение 1.5. Множество S называется группой, если для любой пары элементов множества S определена операция (*) и для нее выполняются следующие четыре свойства:
1) замкнутость;
2) ассоциативность;
3) S содержит единственный элемент е, называемый единицей S , такой, что для любого а из S: е(*)а = а(*)е = а ;
4) для любого а из S существует единственный обратный элемент у Î
S, такой, что а(*)у = у(*)а = е.
Если, кроме того, для любых элементов а, β ÎS выполнимо соотношение
а(*)β = β(*)а ,
то группа называется коммутативной, или абелевой.
Если операция (*) является сложением (+), то группа называется аддитивной и для элемента е принято обозначение О, а обратный к а элемент обозначается а. Если операция (*) является умножением (·), то группа S
называется мультипликативной и элемент е обозначается символом 1 , а
обратный к а элемент -
a-1 .
Примерами групп является множество Z с арифметической операцией сложения и множество R с операцией сложения или умножения.
Важные свойства группы:
1) внутри группы можно решить уравнение а(*)х = β, где х определяется из соотношения
х = a-1
(*)β,
и решение единственное, т.е. в группе возможны однозначные правое и левое
«деление»;
2) в группе выполняется соотношение (а(*) b ) -1 = b -1
Для мультипликативной группы имеем
(*) a -1 .
a-n
=(a-1 ) n ,a-m a-n
=am +n , (am ) n
=anm , m, n ÎN
Для аддитивной абелевой группы те же правила имеют вид:
(-n)а=n(-а), mа+nа=(m+n)а, m(nа)=(mn)а.
Циклические конечные группы
Группа, содержащая конечное число q элементов, называется конечной группой. В противном случае группа бесконечная. Число элементов в группе называется порядком группы.
Циклическая конечная группа состоит из степеней a 0 = е ,
a , a 2 , a 3 , ... одного элемента α и обязательно коммутативна.
Так как группа конечна, должны существовать два значения показателя
степени i и j, i < j, для которых ai
= aj = ai (aj ) -1 .
Oтсюда следует (согласно свойству единичного мультипликативного элемента), что ( a j ) -1 l = е = 1.
Порядком (мультипликативным) элемента α группы называется
наименьшее положительное целое число m, для которого am
=1.
Последовательность степеней элемента а в конечной группе
имеет следующее циклическое свойство:
α, a2 , ..., am
=е, α, a2 , ..., am
= е, α, a2 ,...
Порядок циклической группы совпадает с мультипликативным порядком элемента α .
Если в мультипликативной группе G имеется такой элемент α , что
каждый элемент β Î G является степенью элемента α, т.е. существует целое
число k такое, что β = a k
группы G.
, то тогда этот элемент называется образующим