Алгебраические структуры с двумя бинарными операциями - сложение и умножение.
Определение 1.7. Множество S называется кольцом, если сложение и умножение определены для любой пары ( α, β) элементов из S и выполняются следующие аксиомы.
1) Замкнутость: для любых α и β из S элемент принадлежит S, где (*) -
операция сложения или умножения.
2) Множество S является абелевой группой относительно операции сложения.
3) Множество S является полугруппой относительно операции умножения, т.е. для операции умножения выполняются лишь аксиомы замкнутости и ассоциативности (это означает, что в кольце не всегда возможно «деление»).
4) Выполняется дистрибутивность (распределительный закон): для любых α, β, у из S
(β+ у)α = βα + уα α (β + у) = αβ+ αу.
Алгебраическая структура с перечисленными свойствами называется ассоциативным кольцом.
Кольцо называется коммутативным, если дополнительно выполняется пятая аксиома - коммутативность (относительно операции умножения) для любых α, β из S:
αβ = βα.
Кольцо является кольцом с единицей, если в S существует Кольцо является кольцом с единицей, если в S существует единица относительно операции умножения.
Следует отметить, что операции сложения и умножения не обязательно являются обычными сложением и умножением.
Кольцо как алгебраическая структура допускает дальнейшую классификацию, получаемую расширением его свойств [2].
Пример кольца. Множество Z всех целых чисел образует кольцо -
коммутативное, ассоциативное и с единицей.