Характеристика поля - Лекция, раздел Математика, Материалы лекций Математические основы криптологии
Определение 1.12. Если В Поле Fq Все Ненулевые Элемент...
Определение 1.12. Если в поле Fq все ненулевые элементы имеют аддитивный порядок k, то говорят, что поле Fq имеет характеристику k. Обозначение. р - простое число.
Характеристика любого конечного поля Fq (с числом элементов р) является простым числом [2] (т.е. в конечном поле Fq для каждого α ÎFq выполняется соотношение рα = 0 ).
Число q элементов конечного поля Fq определяется характеристикой поля:. для любого целого n ≥1 и простого числа р существует конечное поле из pn элементов (поле порядка pn) [2].
Такие конечные поля называются полями Галуа и обозначаются
GF( p n ) или GF(p) ='Fp при п = 1 (аббревиатура от слов Galois и Field (поле). .
Поле GF(p) (при n = 1 ) для любого простого р с множеством чисел Fp
= {0, 1, 2, ..., р -1} является полем в арифметике по модулю р (это означает, что элемент поля i + j, i,j ÎFp задается остатком Rр (i + j) от деления обычной суммы i + j на р). в этом поле обратный по сложению элемент для элемента i - это элемент, соответствующий р - i. Обратный по умножению
элемент удовлетворяет соотношению
α·a-1
(mod p)=1, α· a-1 ÎGF(p).
Эта запись означает, что остаток Rp(α·α-I) от деления обычного произведения а·а-I на р равен 1.
Элементы {1, ..., p-1} поля GF(p) можно получить как остатки по модулю р от степеней примитивного элемента этого поля.
Пример 1.4. Пусть р = 19. Имеем примитивный элемент 2. Тогда последовательные степени 2 после при ведения по модулю 19 будут следующими: 2,4,8, 16, 13, 7, 14,9, 18, 17, 15, 11,3,6, 12,5, 10, 1.
Примером простейшего конечного поля является поле GF(2).
Операции сложения (сложение по модулю 2) и умножения (умножение по модулю 2) в этом поле выполняются по модулю 2 (рис. 2.1).
Å
0 1
0 1
1 0
Ä
0 1
0 0
0 1
а) б)
Рис. 2.1. Таблицы операций над элементами поля GF(2):
а) операция сложения ( Å); б) операция умножения ( Ä)
Приведем в качестве еще одного примера поле GF(7).
Аналогичные таблицы операций (рис.2.2) можно представить и для поля
В М Захаров... Материалы лекций... Математические основы криптологии...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Характеристика поля
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Алгоритм передачи секретного ключа по открытому каналу
В середине 70-х годов произошел настоящий прорыв в современной
криптографии – появление асимметричных криптосистем, которые не требовали передачи секретного ключа между сторонами. Здесь от
Алгоритм Евклида
Алгоритм Евклида дает правило вычисления наибольшего общего делителя
(НОД) 2-х натуральных чисел. (a,b)= d , где d – НОД НОК – наименьшее общее кратное
Получение простых чисел.
По мере того как мы будем изучать курс «Математические основы криптологии» мы будем возвращаться к этой теме.
Задача получение простых чисел во многом зависит от того как с
Проверка простоты чисел Мерсенна
Числами Мерсенна называются числа вида М(p) = 2p - 1, pÎN.
Задача для чисел Мерсенна - поиск в ряду э
Алгоритм Бухштаба
Данный алгоритм приведен из книги Бухштаба А.А. "Теория чисел" [4]. Пусть задано натуральное нечетное число n, n ≥ 9, которое необходимо разложить на 2
Алгоритм Ферма
Алгоритм Ферма похож на алгоритм Бухштаба и является эффективным, если у раскладываемого числа n есть делитель (который
Функция Эйлера
Имеется целое, положительное число m. Оно может быть как составным, так и простым.
Функцию Эйлера принято обозначать, практически во всех учебниках как:
Мультипликативная функция
Имеем два натуральных числа a и b, если они взаимно просты, то мультипликативная функция устанавливает число взаимно простых чисел, для произведение двух взаимно простых чисел по фо
Числовая функция
Это функция устанавливающая целую часть от некоторого рационального числа
[a] – обозначение
может быть как положительное, так и отрицательное число
Сравнимость по модулю. Модулярная арифметика
Понятие «модулярная арифметика» ввел немецкий ученый Гаусс.
Модульная арифметика аналогична обычной арифметике: она коммутативна, ассоциатив
Свойства операций сравнения
В криптографии существуют шифры и по простому модулю и по составному модулю.
Нужно знать когда применять простой модуль, а когда состав
Расширение полей
Рассмотрим, какова связь полей GF(p) и GF( p n ).
Пусть F - поле. Подмножество К поля Р, которое само является полем относительно операций поля Р, на
Pound; b£ n-1
Если для каждого простого делителя p числа n-1 справедливы следующие утверждения:
(1) bn-1≡ 1(mod n),
Числа Кармайкла
Может ли составное нечетное число n быть псевдопростым по всем взаимно-простым с ним основаниям b? Забегая вперед, скачем, что «да».
Заметим
Процедура получения устойчивых простых чисел
1. Генерируются простые числа s,t
2. Получаем простое число r такое что, (r-1) делит t без остатка: r-1|t
На основе этих двух операций получаем про
Алгоритм асимметричного шифрования RSA
Алгоритм RSA предложили в 1978 г. 3 автора: Райвест (Rivest), Шамир (Shamir) и Адлеман (Adleman). RSA является алгоритмом с открытым ключом, работающим в режимах шифрования данных и
Раунд преобразования алгоритма RIJNDAEL
RIJNDAEL выполняет серию однотипных раундов преобразования шифруемого блока. Шифруемый блок и его промежуточные состояния в ходе преобразования представляются в виде квадратной матр
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов