Характеристика поля

 

Определение 1.12. Если в поле Fq все ненулевые элементы имеют аддитивный порядок k, то говорят, что поле Fq имеет характеристику k. Обозначение. р - простое число.

Характеристика любого конечного поля Fq (с числом элементов р) является простым числом [2] (т.е. в конечном поле Fq для каждого α ÎFq выполняется соотношение рα = 0 ).

Число q элементов конечного поля Fq определяется характеристикой поля:. для любого целого n ≥1 и простого числа р существует конечное поле из pn элементов (поле порядка pn) [2].

Такие конечные поля называются полями Галуа и обозначаются

 

GF( p n ) или GF(p) ='Fp при п = 1 (аббревиатура от слов Galois и Field (поле). .

 

Поле GF(p) (при n = 1 ) для любого простого р с множеством чисел Fp

 

= {0, 1, 2, ..., р -1} является полем в арифметике по модулю р (это означает, что элемент поля i + j, i,j ÎFp задается остатком Rр (i + j) от деления обычной суммы i + j на р). в этом поле обратный по сложению элемент для элемента i - это элемент, соответствующий р - i. Обратный по умножению

элемент удовлетворяет соотношению

 

α·a-1

 

(mod p)=1, α· a-1 ÎGF(p).

 

Эта запись означает, что остаток Rp(α·α-I) от деления обычного произведения а·а-I на р равен 1.

Элементы {1, ..., p-1} поля GF(p) можно получить как остатки по модулю р от степеней примитивного элемента этого поля.

 

 

Пример 1.4. Пусть р = 19. Имеем примитивный элемент 2. Тогда последовательные степени 2 после при ведения по модулю 19 будут следующими: 2,4,8, 16, 13, 7, 14,9, 18, 17, 15, 11,3,6, 12,5, 10, 1.

 

Примером простейшего конечного поля является поле GF(2).

Операции сложения (сложение по модулю 2) и умножения (умножение по модулю 2) в этом поле выполняются по модулю 2 (рис. 2.1).

 

Å 0 1   0 1   1 0

Ä 0 1   0 0   0 1

а) б)

 

Рис. 2.1. Таблицы операций над элементами поля GF(2):

а) операция сложения ( Å); б) операция умножения ( Ä)

 

 

Приведем в качестве еще одного примера поле GF(7).

Аналогичные таблицы операций (рис.2.2) можно представить и для поля

 

GF(7).

 

Å 0 1 2 3 4 5 6             0 1 2 3 4 5 6   1 2 3 4 5 6 0   2 3 4 5 6 0 1   3 4 5 6 0 1 2   4 5 6 0 1 2 3   5 6 0 1 2 3 4   6 0 1 2 3 4 5

Ä 0 1 2 3 4 5 6             0 0 0 0 0 0 0   0 1 2 3 4 5 6   0 2 4 6 1 3 5   0 3 6 2 5 1 4   0 4 1 5 2 6 3   0 5 3 1 6 4 2   0 6 5 4 3 2 1

а) б)

 

Рис. 2.2. Таблицы операций над элементами поля GF(7):

а) операция сложения ( Å); б) операция умножения ( Ä)