рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Свойства делимости целых чисел

Свойства делимости целых чисел - Лекция, раздел Математика, Материалы лекций Математические основы криптологии   Два Числа A И B Называются Взаимно Простыми Если Их Нод = 1...

 

Два числа a и b называются взаимно простыми если их НОД = 1

 

(a1,a2,….,an)= НОД

 

(a1,a2) = d1

 

(a3,d1) = d2

 

…………..

 

(dn-3,dn-1) = dn

 

a1*a2= k*d

 

Теорема разложения целых чисел (главная теорема арифметики)Любое составное число m можно однозначно представить в виде произведения простых сомножителей p, m = p1*p2*…..*pk

Эта теорема имеет большое прикладное значение в криптографии.

 

Обозначения:

 

m – составное число

 

p - простое

 

Составное число может раскладываться на простые, при этом могут быть две формы:

1)когда все сомножители разные

 

2) когда есть кратные сомножители

 

Пример: m= 720


 

Применим школьный алгоритм разложения – последовательное деление на возрастающие простые сомножители

720 2

 

360 2

 

180 2

 

90 2

 

45 3

 

15 3

 

5 5

 

Кратность указывается с помощью верхнего индекса 720 = 24*32*5 -

такая форма носит название – каноническое разложение на простые сомножители.

 

Это позволяет при большем числе кратных сомножителей достаточно компактно записать разложение.

С помощью такого «школьного» алгоритма число с большим

 

количеством десятичных знаков можно раскладывать годами.

 

Это одна из сложных математических задач на которой основаны алгоритмы шифрование/расшифрования с помощью открытого ключа. При секретном ключе данная задача не используется. Вообще шифрование с открытым ключом основано на ряде математически сложных задач. Задач, для которых быстродействующие алгоритмы пока не придуманы. На этом и основана криптостойкость. Эта криптостойкость носит название практической криптостойкости, т.к. как только будут найдены другие быстродействующие алгоритмы разложение, эти алгоритмы потеряют свою актуальность. В перспективе таким возможным алгоритмом может стать алгоритм на основе квантовой физики. Там все процессы идут параллельно и независимо от тако насколько большое число все делается достаточно быстро.


 

Одним из алгоритмов основанных на решение сложных математических задач, является алгоритм RSA. Этот алгоритм мы рассмотрим в одной из следующих лекций и немножко под другим углом.

Применение этой теоремы это – например для нахождение НОД. Т.е зная разложение, два числа, допустим a и b такие что:

 

 

 

Примечание: При получение разного числа сомножителей можно дописать так называемые «фиктивные» сомножители. н-р:

мы можем найти НОД по формуле:

 

От каждого разложение берется пара сомножителей, выбирается по показателям.

из каждой пары сомножителей выбирается сомножитель с минимальным показателем.

 

 

Пример

 

 

 

Т.е. 720= 24*32*5,

 

а 90= 2*32*5

 

Берем минимальные показатели :

 

- т.е. число 90 является НОД(d) чисел 90 и

 


720.

 

Аналогично НОК :


 

- т.е. число 720 является НОК(k) чисел 90 и 720.


 

 

Другая сфера приложения это н-р: Имеем некоторое большое число и имеем его разложение и на основе этого надо найти все его делители .

Если кратность в разложение есть то удобно использовать определенный способ нахождения всех делителей.

В общем случае когда составное число раскладывается по канонической формуле все делители можно найти по такой формуле (эта формула тоже обосновывается теоремой)

- мы имеем разложение

 

 

 

…………….

 

В нашем случае (про 720)

 

 

 

 

 

 

и подставляя всевозможные вариации этих значений мы и получим все делители.

т.е. d = 1,2,4,8,16…………

 

в нашем случае будет 30 делителей

 

Еще один вариант приложения разложения. По разложения можно найти сумму всех делителей ()

Принято обозначать сумму всех делителей нашего числа акак

 

 

 

 

Для нашего примера это будет выглядеть так:

 

 


 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Материалы лекций Математические основы криптологии

В М Захаров.. Материалы лекций.. Математические основы криптологии..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Свойства делимости целых чисел

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Лекция№1
    Криптология состоит из двух направлений: криптографии и криптоанализа.   Криптография – наука о способах преобразования (шифрования)

Асимметричное шифрование
    Алгоритм RSA (Revest, Shamir, Adelman) 1978г. e, n А, М В    

Алгоритм передачи секретного ключа по открытому каналу
В середине 70-х годов произошел настоящий прорыв в современной криптографии – появление асимметричных криптосистем, которые не требовали передачи секретного ключа между сторонами. Здесь от

Алгоритм Евклида
  Алгоритм Евклида дает правило вычисления наибольшего общего делителя   (НОД) 2-х натуральных чисел. (a,b)= d , где d – НОД НОК – наименьшее общее кратное

Алгоритм рае кнута
   

Свойства делимости целых чисел
  Свойства приведены без доказательства.   1)Свойство дистрибутивности   Пусть заданны три натуральных числа a,b,

Простые числа
  1)- каноническое разложение &nb

Получение простых чисел
  По мере того как мы будем изучать курс «Математические основы криптологии» мы будем возвращаться к этой теме. Задача получение простых чисел во многом зависит от того как с

Проверка простоты чисел Мерсенна
  Числами Мерсенна называются числа вида М(p) = 2p - 1, pÎN.   Задача для чисел Мерсенна - поиск в ряду э

Sp-2 mod M(p) ≡ 0, т.е. остаток равен 0
  Поясним, каким образом задается ряд Sk. Члены последовательности  

Алгоритм Бухштаба
  Данный алгоритм приведен из книги Бухштаба А.А. "Теория чисел" [4]. Пусть задано натуральное нечетное число n, n ≥ 9, которое необходимо разложить на 2

Алгоритм Ферма
  Алгоритм Ферма похож на алгоритм Бухштаба и является эффективным, если у раскладываемого числа n есть делитель (который

Функция Эйлера
  Имеется целое, положительное число m. Оно может быть как составным, так и простым. Функцию Эйлера принято обозначать, практически во всех учебниках как:  

Мультипликативная функция
  Имеем два натуральных числа a и b, если они взаимно просты, то мультипликативная функция устанавливает число взаимно простых чисел, для произведение двух взаимно простых чисел по фо

Числовая функция
  Это функция устанавливающая целую часть от некоторого рационального числа [a] – обозначение   может быть как положительное, так и отрицательное число

Для возведение натуральных чисел по модулю в большие степени
    Функция Эйлера может быть использована для возведение больших чисел в большую степень по модулю.     Имеется целое число

Возведение натуральных чисел по модулю в большие степени по схеме Горнера
Пусть задано выражение вида   y = a x mod m , (1.1)   где a ÎN - основание степени,  

Сравнимость по модулю. Модулярная арифметика
    Понятие «модулярная арифметика» ввел немецкий ученый Гаусс.   Модульная арифметика аналогична обычной арифметике: она коммутативна, ассоциатив

Свойства операций сравнения
    В криптографии существуют шифры и по простому модулю и по составному модулю.   Нужно знать когда применять простой модуль, а когда состав

Доказательство теоремы Эйлера
  Пусть даны m и φ(m)=k   Имеем число a, причем (a,m)=1     Берем ряд натуральных чисел: a1

Модулярная арифметика (продолжение) Квадратичные вычеты Степенные вычеты
  Продолжим исследовать вычеты. Широкое применение в криптографии нашла формула: xn ≡ a mod m, n=2 xn ≡ a mod p – квадратичный выч

Элементы теории конечного поля простейшие алгебраические структуры
  Под алгебраической структурой будем понимать некоторое множество   S с одной или несколькими операциями на нем.   Пусть S х S обозначае

Кольца и поля
  Алгебраические структуры с двумя бинарными операциями - сложение и умножение.     Определение 1.7. Множество S называется кольцом, е

Характеристика поля
  Определение 1.12. Если в поле Fq все ненулевые элементы имеют аддитивный порядок k, то говорят, что поле Fq имеет характеристику k. Обозначение. р - простое число.

Вычисление обратных элементов
  В арифметике действительных чисел просто вычислить обратную величину a−1 для ненулевого a: a-1 = 1/a или a? a-1 = 1.

Многочлены над конечным полем
  Onределенuе 1.13. Многочленом (относительно х) над полем GF(p)   m

Для любого простого р и nÎN существует хотя бы один неприводимый над полем GF(p) многочлен степени n [9]
Любой неприводимый над полем GF(p) многочлен степени п делит     многочлен x pm - x   (также и мног

Алrебраические структуры над множеством многочленов
  Кольцо многочленов над полем GF(p)   Определение 1.17. Кольцо, образованное многочленами над полем GF(p), называется кольцом многочлен

Расширение полей
  Рассмотрим, какова связь полей GF(p) и GF( p n ).   Пусть F - поле. Подмножество К поля Р, которое само является полем относительно операций поля Р, на

Системы уравнений сравнений
  Общий вид:   x ≡ c1 mod m1   x ≡ c2 mod m2

Pound; b£ n-1
  Если для каждого простого делителя p числа n-1 справедливы следующие утверждения:     (1) bn-1≡ 1(mod n),  

Числа Кармайкла
  Может ли составное нечетное число n быть псевдопростым по всем взаимно-простым с ним основаниям b? Забегая вперед, скачем, что «да».     Заметим

Процедура получения устойчивых простых чисел
  1. Генерируются простые числа s,t   2. Получаем простое число r такое что, (r-1) делит t без остатка: r-1|t На основе этих двух операций получаем про

М-последовательности. ГПСЧ типа ЛРС1
  Опр ед ел ени е. Последовательностью над полем   GF ( p)   будем   назы

M - последовательности на основе произведения многочленов
Рассмотрим способ построения схемы линейного регистра сдвига на основе характеристического многочлена, задаваемого как произведение   многочленов, при &nbs

Произведения многочленов
  Рассмотрим следующие свойства ЛРП, порождаемой схемой ГПСП,   изображенной на рис. 2.1, при a0 =1.  

ЛЕКЦИЧ 16
  Способы представления элементов поля GF(2n)   Для представления элементов в полях Галуа вида GF(2n) существуют ра

Алгоритм получения элементов поля GF(2n) в стандартном базисе
  Для построения элементов поля GF(2n) в стандартном базисе существует следующий алгоритм, использующий сдвиговыерегистры. На входе: поле GF(2n

Заданными в стандартном базисе
   

Алгоритм асимметричного шифрования RSA
  Алгоритм RSA предложили в 1978 г. 3 автора: Райвест (Rivest), Шамир (Shamir) и Адлеман (Adleman). RSA является алгоритмом с открытым ключом, работающим в режимах шифрования данных и

Математическая модель алгоритма RIJNDAEL
  Байты можно рассматривать как элементы конечного поля GF(28) -   многочлены степени не более 7   а7х7 + а6х

Раунд преобразования алгоритма RIJNDAEL
  RIJNDAEL выполняет серию однотипных раундов преобразования шифруемого блока. Шифруемый блок и его промежуточные состояния в ходе преобразования представляются в виде квадратной матр

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги