Обернена матриця

Означення. Матриця називається оберненою для квадратної матриці , якщо при множенні цієї матриці на матрицю як праворуч, так і ліворуч, утворюється одинична матриця:

(1.4.1)

Теорема.Кожна квадратна матриця, визначник якої не дорівнює нулю, має обернену матрицю і при тому тільки одну.

Для матриці (1.1.1) обернена матриця знаходиться за формулою:

(), (1.4.2)

де - транспонована матриця, яка складається із алгебраїчних доповнень.

(1.)

Властивості оберненої матриці:

1) ;	4); 5).
2) ;
3), де - число;

Приклад 4.1.1. Знайти матрицю , обернену до матриці

.

Розв’язання. Обчислимо визначник матриці :

.

Оскільки , то можна побудувати обернену матрицю. Знайдемо алгебраїчні доповнення матриці :

; ; ;

; ; ;

; ; .

За формулою (1.) обернена матриця має вигляд:

.

Перевіримо, чи вірно знайдена обернена матриця. Для цього обчислимо добуток на :

,

тобто за означенням, матриця

є оберненою для матриці .