Означення.Матричними рівняннями називаються рівняння виду:
, або , (1.5.1)
де та – задані квадратні матриці -го порядку, а - невідома матриця того ж порядку.
Означення.Розв’язком матричного рівняння називається всяка матриця відповідного порядку, яка після підставлення в матричне рівняння замість матриці , оберне рівняння в тотожність.
Матричні рівняння (1.5.1) мають єдиний розв’язок, якщо .
, або . (1.5.2)
Приклад 1.5.1.Розв’язати матричне рівняння , якщо , .
Розв’язання. Знайдемо визначник матриці :
,
тому існує обернена матриця . Знайдемо алгебраїчні доповнення елементів матриці :
; ;;.
Тоді . Отже, невідома матриця
.
Зауваження. Якщо матриця вироджена, то цей метод не можливо використовувати, так як матриця не існує. В цьому випадку матричне рівняння має або нескінченну множину рішень, або не має розв’язків взагалі.
Приклад 1.5.2. Розв’язати матричне рівняння , якщо , , .
Розв’язання. З рівняння знаходимо, що .
Знайдемо визначники матриць і :
, .
Тому існують обернені матриці і . Знайдемо алгебраїчні доповнення елементів матриць і :
; ;;, ; ;;.
Тоді та .
Отже, невідома матриця
.