Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Означення.Рівняння відносно невідомих називається лінійним, якщо його можна записати у вигляді:

,

де – деякі числа, які називають коефіцієнтами рівняння, а – довільне число, яке називають довільним членом рівняння.

Означення. Системою лінійних рівнянь із невідомими, або лінійною системою, називають систему рівнянь вигляду

(1.6.1)

в якій кожне рівняння є лінійним.

Числа називають коефіцієнтами, а числа – вільними членами системи (1.6.1). Коефіцієнти при невідомих мають два індекси, з яких перший індекс вказує номер рівняння, якому належить даний коефіцієнт, а другий – номер невідомої, при якій цей коефіцієнт стоїть.

Означення. Лінійну систему рівнянь називають однорідною, якщо всі вільні члени дорівнюють нулю. Якщо ж серед вільних членів є ненульові, то лінійну систему називають неоднорідною.

Означення. Розв’язком системи лінійних рівнянь (1.6.1) називають упорядковану сукупність чисел , підставлення яких замість відповідних невідомих , перетворює кожне з рівнянь системи (1.6.1) на тотожність.

Система рівнянь називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв’язок.

Система рівнянь називається несумісною, якщо вона не має жодного розв’язку.

Система рівнянь називається визначеною, якщо вона має тільки один розв’язок.

Система рівнянь називається невизначеною, якщо вона має нескінчену множину розв’язків.

Дві системи вважають еквівалентними, якщо множини їхніх розв’язків однакові.

Зокрема, дві несумісні системи еквівалентні.

Подамо систему (1.6.1) у матричному вигляді.

Матрицю, елементами якої є коефіцієнти при невідомих – називають основною матрицею, а матрицю, доповнену вільними членами – розширеною матрицею системи.

Позначимо через та матриці-стовпці , , складені з невідомих і вільних членів. Тоді систему (1.6.1) можна записати у вигляді

(1.6.2)

Такий запис системи називають матричним.

При розв’язанні системи рівнянь, як правило, насамперед з’ясовують, чи сумісна вона, й потім вже знаходять усі її розв’язки. Питання про сумісність системи вирішується за допомоги наступної теореми.

Теорема Кронекера-Капеллі.Система лінійних рівнянь сумісна тоді й лише тоді, коли ранг основної матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці цієї системи.

Якщо ранг основної та розширеної матриць не рівні, то система несумісна й немає сенсу її розв’язувати. Якщо ранги матриць рівні, то система сумісна.

Для сумісних систем лінійних рівнянь можливі такі випадки:

- якщо ранг матриці сумісної системи дорівнює числу невідомих, тобто , то система (1.6.1) має єдиний розв’язок;

- якщо ранг матриці сумісної системи менший від числа невідомих, тобто , то система невизначена й має нескінчену кількість розв’язків.

 

Розв’язати систему рівнянь (1.6.1) можна різними методами. Розглянемо деякі з них на прикладі стандартної лінійної системи трьох рівнянь з трьома невідомими

(1.6.3)

Правило Крамера. Нехай – визначник матриці , яка складається з коефіцієнтів при змінних, а – визначник матриці, який отримано з матриці заміною -го стовпця на стовпець вільних членів. Тоді, якщо , тоді система (1.6.1) має єдине рішення, яке визначається за формулами:

(1.6.4)

Зауваження. У разі, коли , а серед є ненульові визначники, система (1.6.1) несумісна. В разі однорідної системи і , вона має лише нульовий розв’язок; якщо ж , то система, крім нульового, має також інші розв’язки.

Приклад 1.6.1. Розв’язати систему лінійних рівнянь за правилом Крамера.