Знайдемо визначник системи за формулою (1.2.3)
Система має єдине рішення, тому що .
Обчислимо додаткові визначники:
Отже, за формулами Крамера (1.6.4), маємо розв’язок системи:
; ;
Після відшукання розв’язку системи рекомендується зробити перевірку, підставивши добуті значення змінних у рівняння системи, й переконатися, що вони перетворюються на правильні рівності.
Метод оберненої матриці. Для того, щоб розв’язати систему лінійних рівнянь (1.6.3) методом оберненої матриці, необхідно:
1. Знайти визначник матриці коефіцієнтів при змінних.
2. Якщо , знайти обернену матрицю .
3. Використовуючи правило множення матриць, помножити обернену матрицю справа на стовпець вільних членів:
, (1.6.5)
де матриця-стовпець є рішенням системи лінійних рівнянь.
Приклад 1.6.2. Розв’язати методом оберненої матриці систему рівнянь
Розв’язання Для розв’язання системи методом оберненої матриці позначимо
; ; .
Тоді в матричній формі система має вид: .
Знайдемо визначник матриці :
Матриця має обернену матрицю , тому що .
Знаходимо обернену матрицю за формулою (1.4.2/), обчисливши попередньо алгебраїчні доповнення всіх елементів матриці .
; ; ; ; ; ; ; ; .
.
Тепер за формулою (1.6.5) знаходимо розв’язок системи:
Відповідь: ; ;
Недоліком розв’язання системи лінійних рівнянь з змінними за формулами Крамера та матричним способом є незручність і велика трудомісткість їх використання у випадку, коли система має більше трьох невідомих, що пов’язано з обчисленням визначників четвертого і більшого порядків.
Метод Гаусса. Розглянемо систему (1.6.1) лінійних рівнянь з невідомими в загальному випадку. Як вже було зауважено, що метод Крамера й метод оберненої матриці пов’язані з великою обчислювальною роботою. Існують більш економічні методи розв’язування систем лінійних рівнянь, що ґрунтуються на попередньому перетворенні системи.
Елементарними перетвореннями системи (1.6.1) називаються наступні перетворення:
1) перестановка двох довільних рівнянь системи;
2) множення обох частин рівняння на відмінне від нуля число;
3) додавання до обох частин рівняння відповідних частин другого, помножених на одне і теж саме число.
Елементарні перетворення переводять дану систему рівнянь у еквівалентну систему. Дві системи лінійних рівнянь називаються еквівалентними, якщо кожне рішення однієї системи, якщо воно існує, є рішенням другої, та навпаки.
Метод Гаусса – метод послідовного виключення невідомих – полягає у тому, що за допомогою елементарних перетворень система рівнянь приводиться до рівносильної системи трикутного виду, з якої послідовно, починаючи з останніх (за номером) невідомих, знаходять всі інші невідомі.
Метод Гаусса успішно застосовується для будь-якої кількості невідомих в лінійної системи.
Приклад 6.3. Розв’язати систему лінійних рівнянь методом Гаусса.