Основні лінійні операції над векторами. - раздел Математика, МАТЕМАТИКА 1. Якщо Вектор ...
1. Якщо вектор помножити на число , то отримаємо вектор з координатами .
Таким чином, якщо вектори і колінеарні, то їх координати зв'язані співвідношеннями
. (1.8.5)
2. Якщо додати вектор до , то отримаємо вектор з координатами .
3. Якщо від вектора відняти вектор , то отримаємо вектор з координатами .
Приклад 1.8.1.В трикутнику з вершинами , і знайти: а) довжини сторін трикутника; б) використовуючи координатне представлення векторів , і , перевірити правильність співвідношень: і .
Розв’язання. а) Знайдемо координати векторів , і за формулою (1.8.3):
; ;
.
За формулою (1.8.4) знайдемо довжини цих векторів:
; ;
.
Справедлива нерівність : .
б) За правилом додавання векторів:
.
За правилом віднімання векторів:
.
Таким чином, обидва співвідношення (правила додавання і віднімання векторів) вірні.
Означення.Скалярним добутком двох векторівіназивається число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними. Скалярний добуток двох векторів і позначається як і згідно означення
, (1.8.6)
де – кут між векторами і .
Скалярний добуток двох векторів і , заданих у координатній формі, дорівнює сумі добутків відповідних координат векторів
. (1.8.7)
Косинус кута між векторамиі визначається за формулою
. (1.8.8)
Необхідна і достатня умова перпендикулярності двох векторіві :
. (1.8.9)
Приклад 1.8.2.Знайти кути трикутника з вершинами, , і .
Розв’язання. Знайдемо координати векторів і , що виходять з вершини : і .
Тоді ; ; . За формулою (1.8.9) знайдемо і .
Відповідно: і .
Приклад 1.8.3.Знайти параметр , при якому вектори і перпендикулярні.
Розв’язання. За умовою вектори перпендикулярні, тому з формули (1.8.7) отримаємо
.
Приклад 1.8.4.Вектор виходить з точки . Знайти координати точки , якщо відомо, що вектор паралельний вектору .
Розв’язання. Так як , то за умовою колінеарності векторів (1.8.5) отримаємо
Таким чином, координати точки .
Означення.Векторним добутком вектора на вектор називається вектор , що позначається як і задовольняє умовам:
1) , де – кут між векторами і ;
2) вектор перпендикулярний векторам і ;
3) вектори , і утворюють праву трійку векторів (рис. 1.2).
Векторний добуток двох векторів і , які задані в координатній формі, обчислюється за формулою
. (1.8.10)
Рис. 1.2 - Геометричний зміст векторного добутку векторів
Приклад 1.8.5.Знайти векторний добуток векторів: і .
Розв’язання. За формулою (1.8.10):
.
Приклад 1.8.6.Знайти площу трикутника з вершинами, і .
Розв’язання. Розглянемо вектори і , що мають спільну вершину: і . Тоді площу трикутника можна знайти за формулою . Знайдемо
,
.
Тоді площа трикутника .
Означення. Якщо вектор помножити векторно на та векторний добуток помножити скалярно на , то в результаті отримаємо число, яке називається мішаним добуткомтрьох векторів , і . При цьому справедлива рівність .
Мішаний добуток трьох векторів , і , які задані в координатній формі, обчислюється за формулою
УКРАЇНИ... Донецький національний університет економіки і торгівлі імені Михайла... Кафедра вищої і прикладної математики...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Основні лінійні операції над векторами.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Фоміна Т.О.
Ф 76 Математика для економістів. Метод. вказ. для практ. занять та орг. самост. роботи студ. напряму підготовки «Економіка підприємства» / Т.О. Фоміна; М-во освіти і науки, молоді та спорту України
Поняття числової матриці
Дуже часто для розв’язання економічних задач використовують поняття „матриця”: технологічна матриця, матриця попиту, матриця пропозиції та інші. У багатьох прикладних задачах доводиться зводити чис
Дії над матрицями
Над матрицями, як і над числами, можна робити такі алгебраїчні дії, як додавання, множення матриць, множення матриці на число. Матриці можна також транспонувати.
Означення.
Дії над матрицями
Над матрицями, як і над числами, можна робити такі алгебраїчні дії, як додавання, множення матриць, множення матриці на число. Матриці можна також транспонувати.
Означення.
Визначники квадратних матриць
Визначники матриць часто вживаються при розв’язанні задач у багатьох розділах вищої математики, наприклад, в лінійній алгебрі при розв’язанні систем лінійних рівнянь, в аналітичній геометрії при об
Деякі правила обчислення визначників
1. Правило трикутника.
Наведене правило обчислення визначників третього порядку (1.2.3) називається правилом трикутника. Його можна представити наступною схемою:
Ранг матриці
Розглянемо матрицю розмірності (1.1.1). Якщо в цій матриці викреслити довільно
Методи обчислення рангу матриці
Метод обвідних мінорів.Ранг матриці визначається в наступній послідовності:
1. Якщо серед елементів матриці є хоча б один відмінний від нуля елемент, то знаходимо нену
Обернена матриця
Означення. Матриця називається оберненою для квадратної матриці
Матричні рівняння.
Означення.Матричними рівняннями називаються рівняння виду:
, або
Розв’язання
Знайдемо визначник системи за формулою (1.2.3)
Система має єдине рішення, тому що
Розв’язання
Виключимо невідому із усіх рівнянь, крім першого. Для цього помножимо перше рівняння на 3 і віднімемо отримане рівняння від другого; потім п
Технологічна матриця
Нехай підприємство, що має видів ресурсів виготовляє з них видів продукції. Припуст
Основні методи інтегрування
Основними методами інтегрування є безпосереднє інтегрування за допомогою основних властивостей невизначеного і визначеного інтеграла і таблиці інтегралів, метод підстановки (заміни змінної) і інтег
Метод невизначених коефіцієнтів
Через те, що інтегрування багаточлена не представляє труднощів, то досить навчитися інтегрувати правильні раціональні дроби. Сформульована нижче теорема дозволяє звести інтегрування будь-якого прав
Розв’язання.
а)Розкладемо підінтегральний вираз за схемою (2.4.2) з невизначеними коефіцієнтами
.
Звідси:
Невласні інтеграли
Розрізняють невласні інтеграли I– го і II– го роду.
Невласними інтегралами I– го роду називаються інтеграли з нескінченним інтервалом інтегрування
Диференціальні рівняння першого порядку
Означення. Звичайним диференціальним рівнянням називається рівняння, що зв'язує шукану функцію однієї змінної і похідні різних порядків даної функції.
У загальному
помножити на число 
, то отримаємо вектор 
з координатами 
.
і 
колінеарні, то їх координати зв'язані співвідношеннями
. (1.8.5)
з координатами 
.
з координатами 
.
з вершинами 
, 
і 
знайти: а) довжини сторін трикутника; б) використовуючи координатне представлення векторів 
, 
і 
, перевірити правильність співвідношень: 
і 
.
; 
;
.
; 
;
.
: 
.
.
.
і 
називається число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними. Скалярний добуток двох векторів 
і згідно означення
, (1.8.6)
– кут між векторами 
і 
, заданих у координатній формі, дорівнює сумі добутків відповідних координат векторів
. (1.8.7)
. (1.8.8)
. (1.8.9)
, 
і 
.
: 
і 
.
; 
; 
. За формулою (1.8.9) знайдемо 
і 
.
і 
.
і 
перпендикулярні.
.
. Знайти координати точки 
, якщо відомо, що вектор 
.
, то за умовою колінеарності векторів (1.8.5) отримаємо
.
, що позначається як 
і задовольняє умовам:
, де 
. (1.8.10)
і 
.
.
, 
і 
.
і 
. Знайдемо
,
.
.
помножити скалярно на 
трьох векторів 
.
, які задані в координатній формі, обчислюється за формулою
. (1.8.11)
Новости и инфо для студентов