рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Основні лінійні операції над векторами.

Основні лінійні операції над векторами. - раздел Математика, Математика 1. Якщо Вектор ...

1. Якщо вектор помножити на число , то отримаємо вектор з координатами .

Таким чином, якщо вектори і колінеарні, то їх координати зв'язані співвідношеннями

. (1.8.5)

2. Якщо додати вектор до , то отримаємо вектор з координатами .

3. Якщо від вектора відняти вектор , то отримаємо вектор з координатами .

Приклад 1.8.1.В трикутнику з вершинами , і знайти: а) довжини сторін трикутника; б) використовуючи координатне представлення векторів , і , перевірити правильність співвідношень: і .

Розв’язання. а) Знайдемо координати векторів , і за формулою (1.8.3):

; ;

.

За формулою (1.8.4) знайдемо довжини цих векторів:

; ;

.

Справедлива нерівність : .

б) За правилом додавання векторів:

.

За правилом віднімання векторів:

.

Таким чином, обидва співвідношення (правила додавання і віднімання векторів) вірні.

Означення. Скалярним добутком двох векторіві називається число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними. Скалярний добуток двох векторів і позначається як і згідно означення

, (1.8.6)

де – кут між векторами і .

Скалярний добуток двох векторів і , заданих у координатній формі, дорівнює сумі добутків відповідних координат векторів

. (1.8.7)

Косинус кута між векторами і визначається за формулою

. (1.8.8)

Необхідна і достатня умова перпендикулярності двох векторів і :

. (1.8.9)

Приклад 1.8.2.Знайти кути трикутника з вершинами, , і .

Розв’язання. Знайдемо координати векторів і , що виходять з вершини : і .

Тоді ; ; . За формулою (1.8.9) знайдемо і .

Відповідно: і .

Приклад 1.8.3.Знайти параметр , при якому вектори і перпендикулярні.

Розв’язання. За умовою вектори перпендикулярні, тому з формули (1.8.7) отримаємо

.

Приклад 1.8.4.Вектор виходить з точки . Знайти координати точки , якщо відомо, що вектор паралельний вектору .

Розв’язання. Так як , то за умовою колінеарності векторів (1.8.5) отримаємо

Таким чином, координати точки .

Означення. Векторним добутком вектора на вектор називається вектор , що позначається як і задовольняє умовам:

1) , де – кут між векторами і ;

2) вектор перпендикулярний векторам і ;

3) вектори , і утворюють праву трійку векторів (рис. 1.2).

Векторний добуток двох векторів і , які задані в координатній формі, обчислюється за формулою

. (1.8.10)

Рис. 1.2 - Геометричний зміст векторного добутку векторів

Приклад 1.8.5.Знайти векторний добуток векторів: і .

Розв’язання. За формулою (1.8.10):

.

Приклад 1.8.6.Знайти площу трикутника з вершинами, і .

Розв’язання. Розглянемо вектори і , що мають спільну вершину: і . Тоді площу трикутника можна знайти за формулою . Знайдемо

,

.

Тоді площа трикутника .

Означення. Якщо вектор помножити векторно на та векторний добуток помножити скалярно на , то в результаті отримаємо число, яке називається мішаним добуткомтрьох векторів , і . При цьому справедлива рівність .

Мішаний добуток трьох векторів , і , які задані в координатній формі, обчислюється за формулою

. (1.8.11)

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Математика

України.. Донецький національний університет економіки і торгівлі імені Михайла.. Кафедра вищої і прикладної математики..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Основні лінійні операції над векторами.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Фоміна Т.О.
Ф 76 Математика для економістів. Метод. вказ. для практ. занять та орг. самост. роботи студ. напряму підготовки «Економіка підприємства» / Т.О. Фоміна; М-во освіти і науки, молоді та спорту України

Поняття числової матриці
Дуже часто для розв’язання економічних задач використовують поняття „матриця”: технологічна матриця, матриця попиту, матриця пропозиції та інші. У багатьох прикладних задачах доводиться зводити чис

Дії над матрицями
Над матрицями, як і над числами, можна робити такі алгебраїчні дії, як додавання, множення матриць, множення матриці на число. Матриці можна також транспонувати. Означення.

Дії над матрицями
Над матрицями, як і над числами, можна робити такі алгебраїчні дії, як додавання, множення матриць, множення матриці на число. Матриці можна також транспонувати. Означення.

Властивості множення матриць
1. ; 3. ; 2.

Визначники квадратних матриць
Визначники матриць часто вживаються при розв’язанні задач у багатьох розділах вищої математики, наприклад, в лінійній алгебрі при розв’язанні систем лінійних рівнянь, в аналітичній геометрії при об

Деякі правила обчислення визначників
1. Правило трикутника. Наведене правило обчислення визначників третього порядку (1.2.3) називається правилом трикутника. Його можна представити наступною схемою:

Розв’язання
а) ; б)

Ранг матриці
Розглянемо матрицю розмірності (1.1.1). Якщо в цій матриці викреслити довільно

Методи обчислення рангу матриці
Метод обвідних мінорів.Ранг матриці визначається в наступній послідовності: 1. Якщо серед елементів матриці є хоча б один відмінний від нуля елемент, то знаходимо нену

Обернена матриця
Означення. Матриця називається оберненою для квадратної матриці

Матричні рівняння.
Означення.Матричними рівняннями називаються рівняння виду: , або

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Означення.Рівняння відносно невідомих називається лінійним, якщо його можна записати у вигляді:

Розв’язання
Знайдемо визначник системи за формулою (1.2.3) Система має єдине рішення, тому що

Розв’язання
Виключимо невідому із усіх рівнянь, крім першого. Для цього помножимо перше рівняння на 3 і віднімемо отримане рівняння від другого; потім п

Технологічна матриця
Нехай підприємство, що має видів ресурсів виготовляє з них видів продукції. Припуст

Скалярний, векторний, змішаний добутки векторів, їх властивості та вираз через координати
Означення. Радіус-вектором точкиназивається вектор

Рівняння прямої на площині
Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом – це рівняння виду , (1.9.1) де

Рівняння прямої у відрізках
, (1.9.5) де – величина відрізка, що відсікається прямою від осі

Умова перпендикулярності прямих заданих в загальному вигляді
або . (1.9.11) Відстань

Рівняння площини і прямої в просторі
Параметричне рівняння прямої в просторі, що проходить через точку і має напрямний вектор

Загальне рівняння площини в просторі
, (1.10.4) де , якщо площина проходить через точку

Умова паралельності площин
. (1.10.12) Якщо площини не паралельні, то вони перетинаються, їх перетином буде пряма. Приклад 1.10.4.В

Поняття границі послідовності і границі функції, властивості
Означення. Нехай кожному поставлено у відповідність деяке дійсне число

Поняття границі послідовності і границі функції, властивості
Означення. Нехай кожному поставлено у відповідність деяке дійсне число

Поняття похідної, її властивості
Означення. Нехай задана на інтервалі . Візьмемо деяку точку

Похідні вищих порядків
Означення. Нехай функція задана на і у кожній точці

Диференціювання деяких функцій
Диференціювання неявних функцій. Нехай рівняння визначає

Практичне знаходження проміжків монотонності функції
Нехай функція задана на . Відмітимо на

Розв’язання.
Знаходимо першу похідну функції: .    

Екстремуми функції
Означення. Точка називається точкою максимуму (мінімуму) функції

Приклад 1.13.4.Знайти інтервали опуклості, увігнутості і точки перегину графіка функції.
Розв’язання. Знайдемо першу і другу похідні функції: ;

Асимптоти графіка функції
Означення. Асимптотою графіка функції називається пряма, що має таку властивість: відстань від точки

Невизначений інтеграл, властивості
Означення. Функція називається первісноюфункцією для функції

Властивості невизначеного інтеграла
1. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції, тобто: . Диференціал невизначеного інтеграла дор

Таблиця інтегралів від основних елементарних функцій
; ;

Визначений інтеграл, властивості
Якщо – первісна функція від , тобто

Основні методи інтегрування
Основними методами інтегрування є безпосереднє інтегрування за допомогою основних властивостей невизначеного і визначеного інтеграла і таблиці інтегралів, метод підстановки (заміни змінної) і інтег

Розв’язання.
а) Позначимо , тоді й, отже,

Метод невизначених коефіцієнтів
Через те, що інтегрування багаточлена не представляє труднощів, то досить навчитися інтегрувати правильні раціональні дроби. Сформульована нижче теорема дозволяє звести інтегрування будь-якого прав

Розв’язання.
а)Розкладемо підінтегральний вираз за схемою (2.4.2) з невизначеними коефіцієнтами . Звідси:

Невласні інтеграли
Розрізняють невласні інтеграли I– го і II– го роду. Невласними інтегралами I– го роду називаються інтеграли з нескінченним інтервалом інтегрування

Диференціальні рівняння першого порядку
Означення. Звичайним диференціальним рівнянням називається рівняння, що зв'язує шукану функцію однієї змінної і похідні різних порядків даної функції. У загальному

Однорідні і лінійні диференціальні рівняння першого порядку
Означення.Диференціальне рівняння першого порядку називається однорідним, якщо воно може бути представлене у вигляді:

Диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами
Лінійне диференціальне рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами має вигляд: (2.9.1) де

Ознака Даламбера
Якщо в ряді з додатними членами відношення -го члена до

Радикальна ознака Коші
Якщо для ряду з додатними членами: , величина при

Інтегральна ознака збіжності ряду
Нехай члени ряду додатні і не зростають, а – така неперервна не зростаюча функція

Порівняння рядів з додатними членами
Нехай задані два ряди з додатними членами: (2.11.1) (2.11.2)

Степеневі ряди. Інтервал збіжності
Означення.Степеневим рядом називають ряд виду: , де

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги