Основні лінійні операції над векторами.

1. Якщо вектор помножити на число , то отримаємо вектор з координатами .

Таким чином, якщо вектори і колінеарні, то їх координати зв'язані співвідношеннями

. (1.8.5)

2. Якщо додати вектор до , то отримаємо вектор з координатами .

3. Якщо від вектора відняти вектор , то отримаємо вектор з координатами .

Приклад 1.8.1.В трикутнику з вершинами , і знайти: а) довжини сторін трикутника; б) використовуючи координатне представлення векторів , і , перевірити правильність співвідношень: і .

Розв’язання. а) Знайдемо координати векторів , і за формулою (1.8.3):

; ;

.

За формулою (1.8.4) знайдемо довжини цих векторів:

; ;

.

Справедлива нерівність : .

б) За правилом додавання векторів:

.

За правилом віднімання векторів:

.

Таким чином, обидва співвідношення (правила додавання і віднімання векторів) вірні.

Означення. Скалярним добутком двох векторіві називається число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними. Скалярний добуток двох векторів і позначається як і згідно означення

, (1.8.6)

де – кут між векторами і .

Скалярний добуток двох векторів і , заданих у координатній формі, дорівнює сумі добутків відповідних координат векторів

. (1.8.7)

Косинус кута між векторами і визначається за формулою

. (1.8.8)

Необхідна і достатня умова перпендикулярності двох векторів і :

. (1.8.9)

Приклад 1.8.2.Знайти кути трикутника з вершинами, , і .

Розв’язання. Знайдемо координати векторів і , що виходять з вершини : і .

Тоді ; ; . За формулою (1.8.9) знайдемо і .

Відповідно: і .

Приклад 1.8.3.Знайти параметр , при якому вектори і перпендикулярні.

Розв’язання. За умовою вектори перпендикулярні, тому з формули (1.8.7) отримаємо

.

Приклад 1.8.4.Вектор виходить з точки . Знайти координати точки , якщо відомо, що вектор паралельний вектору .

Розв’язання. Так як , то за умовою колінеарності векторів (1.8.5) отримаємо

Таким чином, координати точки .

Означення. Векторним добутком вектора на вектор називається вектор , що позначається як і задовольняє умовам:

1) , де – кут між векторами і ;

2) вектор перпендикулярний векторам і ;

3) вектори , і утворюють праву трійку векторів (рис. 1.2).

Векторний добуток двох векторів і , які задані в координатній формі, обчислюється за формулою

. (1.8.10)

Рис. 1.2 - Геометричний зміст векторного добутку векторів

Приклад 1.8.5.Знайти векторний добуток векторів: і .

Розв’язання. За формулою (1.8.10):

.

Приклад 1.8.6.Знайти площу трикутника з вершинами, і .

Розв’язання. Розглянемо вектори і , що мають спільну вершину: і . Тоді площу трикутника можна знайти за формулою . Знайдемо

,

.

Тоді площа трикутника .

Означення. Якщо вектор помножити векторно на та векторний добуток помножити скалярно на , то в результаті отримаємо число, яке називається мішаним добуткомтрьох векторів , і . При цьому справедлива рівність .

Мішаний добуток трьох векторів , і , які задані в координатній формі, обчислюється за формулою

. (1.8.11)