1. Якщо вектор помножити на число , то отримаємо вектор з координатами .
Таким чином, якщо вектори і колінеарні, то їх координати зв'язані співвідношеннями
. (1.8.5)
2. Якщо додати вектор до , то отримаємо вектор з координатами .
3. Якщо від вектора відняти вектор , то отримаємо вектор з координатами .
Приклад 1.8.1.В трикутнику з вершинами , і знайти: а) довжини сторін трикутника; б) використовуючи координатне представлення векторів , і , перевірити правильність співвідношень: і .
Розв’язання. а) Знайдемо координати векторів , і за формулою (1.8.3):
; ;
.
За формулою (1.8.4) знайдемо довжини цих векторів:
; ;
.
Справедлива нерівність : .
б) За правилом додавання векторів:
.
За правилом віднімання векторів:
.
Таким чином, обидва співвідношення (правила додавання і віднімання векторів) вірні.
Означення. Скалярним добутком двох векторіві називається число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними. Скалярний добуток двох векторів і позначається як і згідно означення
, (1.8.6)
де – кут між векторами і .
Скалярний добуток двох векторів і , заданих у координатній формі, дорівнює сумі добутків відповідних координат векторів
. (1.8.7)
Косинус кута між векторами і визначається за формулою
. (1.8.8)
Необхідна і достатня умова перпендикулярності двох векторів і :
. (1.8.9)
Приклад 1.8.2.Знайти кути трикутника з вершинами, , і .
Розв’язання. Знайдемо координати векторів і , що виходять з вершини : і .
Тоді ; ; . За формулою (1.8.9) знайдемо і .
Відповідно: і .
Приклад 1.8.3.Знайти параметр , при якому вектори і перпендикулярні.
Розв’язання. За умовою вектори перпендикулярні, тому з формули (1.8.7) отримаємо
.
Приклад 1.8.4.Вектор виходить з точки . Знайти координати точки , якщо відомо, що вектор паралельний вектору .
Розв’язання. Так як , то за умовою колінеарності векторів (1.8.5) отримаємо
Таким чином, координати точки .
Означення. Векторним добутком вектора на вектор називається вектор , що позначається як і задовольняє умовам:
1) , де – кут між векторами і ;
2) вектор перпендикулярний векторам і ;
3) вектори , і утворюють праву трійку векторів (рис. 1.2).
Векторний добуток двох векторів і , які задані в координатній формі, обчислюється за формулою
. (1.8.10)
Рис. 1.2 - Геометричний зміст векторного добутку векторів
Приклад 1.8.5.Знайти векторний добуток векторів: і .
Розв’язання. За формулою (1.8.10):
.
Приклад 1.8.6.Знайти площу трикутника з вершинами, і .
Розв’язання. Розглянемо вектори і , що мають спільну вершину: і . Тоді площу трикутника можна знайти за формулою . Знайдемо
,
.
Тоді площа трикутника .
Означення. Якщо вектор помножити векторно на та векторний добуток помножити скалярно на , то в результаті отримаємо число, яке називається мішаним добуткомтрьох векторів , і . При цьому справедлива рівність .
Мішаний добуток трьох векторів , і , які задані в координатній формі, обчислюється за формулою
. (1.8.11)