Загальне рівняння площини в просторі

, (1.10.4)

де , якщо площина проходить через точку .

Розглянемо окремі випадки, коли коефіцієнти рівняння (1.10.4) дорівнюють нулю:

1. . Рівняння визначає площину, що проходить через початок координат.

2. . Рівняння визначає площину, паралельну осі , її нормаль перпендикулярна осі .

3. і . Рівняння визначає площину, що проходить через вісь.

4. і . Рівняння визначає площину, паралельну координатній площині , її нормаль перпендикулярна як осі , так і осі , а значить і площині. Площина перетинає координатну вісь у точці .

5. , і . Рівняння або визначає координатну площину , з нормаллю .

Аналогічно визначаються і площини, в рівняннях яких є інші коефіцієнти, які дорівнюють нулю.

Рівняння площини, що проходить через три точки , і :

. (1.10.5)

Рівняння площини у відрізках, що перетинає осі координат в точках , і :

, (1.10.6)

де і – відрізки, які площина відсікає від координатних осей , і , відповідно.

Приклад 1.10.2.Знайти рівняння прямих – перетинів площини з координатною площиною і координати точок перетину площини з координатною віссю .

Розв’язання. Перетин з координатною площиною : покладемо і підставимо в рівняння площини, тоді – рівняння прямої перетину координатної площини з площиною.

Перетин з координатною віссю : покладемо , і підставимо в рівняння площини, отримаємо . – точка перетину координатної осі з площиною.

Приклад 1.10.3.Укласти рівняння площини, що проходить через точки , и . Записати рівняння цієї площини у відрізках.

Розв’язання. За формулою (1.10.5) отримаємо

.

Запишемо рівняння цієї площини у відрізках. Розділимо рівняння на 16 і отримаємо: . Ця площина перетинає осі координат , , відповідно в точках: , , .

Кут між прямими і визначається за формулою

. (1.10.7)

Умова перпендикулярності прямих:

. (1.10.8)

Умова паралельності прямих:

. (1.10.9)

Кут між площинами і обчислюється за формулою

. (1.10.10)

Умова перпендикулярності площин

. (1.10.11)