, (1.10.4)
де , якщо площина проходить через точку .
Розглянемо окремі випадки, коли коефіцієнти рівняння (1.10.4) дорівнюють нулю:
1. . Рівняння визначає площину, що проходить через початок координат.
2. . Рівняння визначає площину, паралельну осі , її нормаль перпендикулярна осі .
3. і . Рівняння визначає площину, що проходить через вісь.
4. і . Рівняння визначає площину, паралельну координатній площині , її нормаль перпендикулярна як осі , так і осі , а значить і площині. Площина перетинає координатну вісь у точці .
5. , і . Рівняння або визначає координатну площину , з нормаллю .
Аналогічно визначаються і площини, в рівняннях яких є інші коефіцієнти, які дорівнюють нулю.
Рівняння площини, що проходить через три точки , і :
. (1.10.5)
Рівняння площини у відрізках, що перетинає осі координат в точках , і :
, (1.10.6)
де і – відрізки, які площина відсікає від координатних осей , і , відповідно.
Приклад 1.10.2.Знайти рівняння прямих – перетинів площини з координатною площиною і координати точок перетину площини з координатною віссю .
Розв’язання. Перетин з координатною площиною : покладемо і підставимо в рівняння площини, тоді – рівняння прямої перетину координатної площини з площиною.
Перетин з координатною віссю : покладемо , і підставимо в рівняння площини, отримаємо . – точка перетину координатної осі з площиною.
Приклад 1.10.3.Укласти рівняння площини, що проходить через точки , и . Записати рівняння цієї площини у відрізках.
Розв’язання. За формулою (1.10.5) отримаємо
.
Запишемо рівняння цієї площини у відрізках. Розділимо рівняння на 16 і отримаємо: . Ця площина перетинає осі координат , , відповідно в точках: , , .
Кут між прямими і визначається за формулою
. (1.10.7)
Умова перпендикулярності прямих:
. (1.10.8)
Умова паралельності прямих:
. (1.10.9)
Кут між площинами і обчислюється за формулою
. (1.10.10)
Умова перпендикулярності площин
. (1.10.11)