Умова паралельності площин

. (1.10.12)

Якщо площини не паралельні, то вони перетинаються, їх перетином буде пряма.

Приклад 1.10.4.Визначити взаємне розташування двох площин, знайшовши кут між ними: і . Якщо площини перетинаються, то знайти рівняння прямої їх перетину.

Розв’язання. За умовою задачі і , тоді за формулою (1.10.11): , тому площини перпендикулярні.

Знайдемо рівняння прямої – перетину цих площин:

Нехай , тоді

Таким чином, одна з точок прямої перетину площин має координати .

Знайдемо напрямний вектор прямої :

.

Тоді параметричне рівняння прямої (1.10.1) має вид:

, , .

Кут між прямою заданою параметрично і площиною визначається формулою

. (1.10.13)

Відстань від довільної точки до площини

, (1.10.14)

Приклад 1.10.5.Знайти кут між прямою і площиною: і . Якщо вони перетинаються, то знайти координати точки перетину.

Розв’язання. Запишемо параметричне рівняння прямої. Нехай , тоді

Маємо і . Оскільки , то пряма і площина перетинаються. За формулою (1.10.13) знайдемо кут між прямою і площиною:

і .

Знайдемо координати точки перетину прямої і площини:

.

Підставимо значення параметра в рівняння прямої і отримаємо

Точка перетину прямої і площини має такі координати .

Приклад 1.10.6.Обчислити відстань від точки до площини .

Розв’язання. За формулою (1.10.14) отримаємо

.