Поняття границі послідовності і границі функції, властивості

Означення. Нехай кожному поставлено у відповідність деяке дійсне число , тобто розглядається функція натурального аргументу. У цьому випадку говорять, що задана послідовність дійсних чисел, яку записують у рядок у порядку зростання номерів або коротко: .

Означення.Число називається границею послідовності , якщо для кожного (навіть як завгодно малого) існує номер такий, що при всіх виконується нерівність:

.

Геометрично визначення границі означає, що починаючи з деякого номера, всі члени послідовності опиняться в інтервалі .

 

Якщо послідовність має границю, то говорять, що вона збігається, у противному випадку – розбігається.

Якщо , то величина називається нескінченно малою. Величина, обернена до нескінченно малої, є нескінченно великою:

.

Властивості:

1. Алгебраїчна сума скінченого числа нескінченно малих величин є величина нескінченно мала.

2. Добуток нескінченно малої на обмежену величину буде нескінченно малим.

Нехай функція задана на інтервалі .

Означення.Число називається границею функції в точці , якщо для кожного існує таке, що для всіх , що задовольняють умові виконується: .

Означення.Число називається правобічною (лівобічною) границею функції в точці , якщо для будь-якого числа існує таке, що для кожного виконується:

.

§ (лівобічна границя);

§ (правобічна границя).

Теорема.Функція має в точці границю тоді і тільки тоді, коли в цій точці існують правобічна і лівобічна границі і вони співпадають. У цьому випадку границя функції дорівнює однобічним границям.

Арифметичні дії над границями:

Якщо і , то справедливі твердження:

§ ;

§ ;

§ , за умови, що .

Перша визначна границя:

. (1.11.1)

Друга визначна границя:

або . (1.11.2)