Означення. Нехай кожному поставлено у відповідність деяке дійсне число , тобто розглядається функція натурального аргументу. У цьому випадку говорять, що задана послідовність дійсних чисел, яку записують у рядок у порядку зростання номерів або коротко: .
Означення.Число називається границею послідовності , якщо для кожного (навіть як завгодно малого) існує номер такий, що при всіх виконується нерівність:
.
Геометрично визначення границі означає, що починаючи з деякого номера, всі члени послідовності опиняться в інтервалі .
Якщо послідовність має границю, то говорять, що вона збігається, у противному випадку – розбігається.
Якщо , то величина називається нескінченно малою. Величина, обернена до нескінченно малої, є нескінченно великою:
.
Властивості:
1. Алгебраїчна сума скінченого числа нескінченно малих величин є величина нескінченно мала.
2. Добуток нескінченно малої на обмежену величину буде нескінченно малим.
Нехай функція задана на інтервалі .
Означення.Число називається границею функції в точці , якщо для кожного існує таке, що для всіх , що задовольняють умові виконується: .
Означення.Число називається правобічною (лівобічною) границею функції в точці , якщо для будь-якого числа існує таке, що для кожного виконується:
.
§ (лівобічна границя);
§ (правобічна границя).
Теорема.Функція має в точці границю тоді і тільки тоді, коли в цій точці існують правобічна і лівобічна границі і вони співпадають. У цьому випадку границя функції дорівнює однобічним границям.
Арифметичні дії над границями:
Якщо і , то справедливі твердження:
§ ;
§ ;
§ , за умови, що .
Перша визначна границя:
. (1.11.1)
Друга визначна границя:
або . (1.11.2)