Екстремуми функції

Означення. Точка називається точкою максимуму (мінімуму) функції , якщо в деякому околі точки виконується нерівність .

Означення. Значення функції в точці називається відповідно максимумом (мінімумом) функції. Максимум і мінімум функції поєднуються загальною назвою екстремуму функції.

Екстремум функції часто називають локальним екстремумом, підкреслюючи той факт, що поняття екстремуму зв'язане лише з досить малим околом точки . Так що на одному проміжку функція може мати декілька екстремумів, причому може статися, що мінімум в одній точці більше максимуму в іншій.

Необхідна умова екстремуму:Для того щоб функція мала екстремум у точці , необхідно, щоб її похідна в цій точці дорівнювала нулю або не існувала.

Точки, у яких виконується необхідна умова екстремуму, тобто похідна дорівнює нулю або не існує, називаються критичними (або стаціонарними).

Дуже важливо зазначити, що зворотне твердження невірно. Критична точка зовсім не обов'язково є точкою екстремуму.

Перша достатня умова екстремуму: якщо при переході через критичну точку похідна функції змінює свій знак з плюса на мінус, тоді є точкою максимуму, а якщо з мінуса на плюс, тоді є точкою мінімуму.