Асимптоти графіка функції

Означення. Асимптотою графіка функції називається пряма, що має таку властивість: відстань від точки , що лежить на кривій до цієї прямої прямує до нуля при нескінченому віддаленні цієї точки графіка від початку координат.

Розрізняють три види асимптот: вертикальні, горизонтальні, похилі.

1. Вертикальні. Якщо при , то – вертикальна асимптота.

Вертикальні асимптоти варто шукати в точках розриву функції .

2. Похилі.Пряма є похилої асимптотою графіка функції , якщо існують скінчені границі:

, .

3. Горизонтальні. Горизонтальні асимптоти – окремий випадок похилих .

Приклад 1.13.5. Знайти асимптоти графіка функції .

Розв’язання. Функція визначена у всіх точках окрім і . Дослідимо функцію в точках розриву:

, ; , ;

і – точки розриву другого роду.

Оскільки і , то і – вертикальні асимптоти графіка функції.

Знайдемо похилу асимптоту:

; .

Таким чином, – похила асимптота.

Оскільки , то графік функції не має горизонтальної асимптоти.