Означення. Асимптотою графіка функції називається пряма, що має таку властивість: відстань від точки , що лежить на кривій до цієї прямої прямує до нуля при нескінченому віддаленні цієї точки графіка від початку координат.
Розрізняють три види асимптот: вертикальні, горизонтальні, похилі.
1. Вертикальні. Якщо при , то – вертикальна асимптота.
Вертикальні асимптоти варто шукати в точках розриву функції .
2. Похилі.Пряма є похилої асимптотою графіка функції , якщо існують скінчені границі:
, .
3. Горизонтальні. Горизонтальні асимптоти – окремий випадок похилих .
Приклад 1.13.5. Знайти асимптоти графіка функції .
Розв’язання. Функція визначена у всіх точках окрім і . Дослідимо функцію в точках розриву:
, ; , ;
і – точки розриву другого роду.
Оскільки і , то і – вертикальні асимптоти графіка функції.
Знайдемо похилу асимптоту:
; .
Таким чином, – похила асимптота.
Оскільки , то графік функції не має горизонтальної асимптоти.