Основні методи інтегрування

Основними методами інтегрування є безпосереднє інтегрування за допомогою основних властивостей невизначеного і визначеного інтеграла і таблиці інтегралів, метод підстановки (заміни змінної) і інтегрування частинами.

Метод безпосереднього інтегрування.Метод полягає в тому, що за допомогою алгебраїчних перетворень підінтегральна функція приводиться до табличної або до їх суми.

Приклад 2.3.1.Знайти інтеграли а) ; б) ;

в) .

Розв’язання.

а).

б)

.

в) .

Метод підстановки.У багатьох випадках введення нової змінної інтегрування дозволяє звести знаходження даного інтеграла до знаходження табличного інтеграла або інтеграла, що береться тим або іншим відомим прийомом. Такий метод називається методом підстановки або методом заміни змінної.

Розглянемо функцію , де , тоді:

(2.3.1)

Формула (2.3.1) називається формулою заміни змінної в невизначеному інтегралі.

Після знаходження інтеграла треба замість підставити його вираз через . У визначеному інтегралі повернення до змінної не обов'язкова, але в цьому випадку при заміні змінної необхідно змінити межі інтегрування, тобто скористатися формулою:

.

Приклад 2.3.2.Знайти інтеграли а) ; б) ; в) .