Розрізняють невласні інтеграли I– го і II– го роду.
Невласними інтегралами I– го роду називаються інтеграли з нескінченним інтервалом інтегрування (або , або ), які визначаються формулами:
; (2.6.1)
; (2.6.2)
, (2.6.3)
Невласні інтеграли можуть мати як скінченне, так і нескінченне значення. Якщо границі не існують або дорівнюють нескінченності, то невласні інтеграли називаються тими, що розбігаються.
Приклад 2.6.1.Дослідити на збіжність інтеграли:
а) ; б) .
Розв’язання. а)
. Інтеграл збігається і його значення дорівнює 1;
б)
.
Оскільки границя не існує, то інтеграл розбігається.
Невласним інтегралом II–го роду від функції на за умови, що має розрив другого роду при називається інтеграл, що визначається за формулою
, (2.6.4)
де , .
Інтеграл (2.6.4) збігається, якщо границі в (2.6.4) скінчені і існують. В протилежному випадку інтеграл є таким, що розбігається.
Якщо підінтегральна функція має розрив II–го роду в точках або , то відповідні інтеграли II–го роду мають вид:
, (2.6.5)
. (2.6.6)
Приклад 2.6.2.Дослідити на збіжність інтеграли: а) ; б) .
Розв’язання.а) .
Інтеграл збігається;
б)
.
Оскільки границя не існує, то інтеграл розбігається.