Невласні інтеграли

Розрізняють невласні інтеграли I– го і II– го роду.

Невласними інтегралами I– го роду називаються інтеграли з нескінченним інтервалом інтегрування (або , або ), які визначаються формулами:

; (2.6.1)

; (2.6.2)

, (2.6.3)

Невласні інтеграли можуть мати як скінченне, так і нескінченне значення. Якщо границі не існують або дорівнюють нескінченності, то невласні інтеграли називаються тими, що розбігаються.

Приклад 2.6.1.Дослідити на збіжність інтеграли:

а) ; б) .

Розв’язання. а)

. Інтеграл збігається і його значення дорівнює 1;

б)

.

Оскільки границя не існує, то інтеграл розбігається.

Невласним інтегралом II–го роду від функції на за умови, що має розрив другого роду при називається інтеграл, що визначається за формулою

, (2.6.4)

де , .

Інтеграл (2.6.4) збігається, якщо границі в (2.6.4) скінчені і існують. В протилежному випадку інтеграл є таким, що розбігається.

Якщо підінтегральна функція має розрив II–го роду в точках або , то відповідні інтеграли II–го роду мають вид:

, (2.6.5)

. (2.6.6)

Приклад 2.6.2.Дослідити на збіжність інтеграли: а) ; б) .

Розв’язання.а) .

Інтеграл збігається;

б)

.

Оскільки границя не існує, то інтеграл розбігається.