Диференціальні рівняння першого порядку

Означення. Звичайним диференціальним рівнянням називається рівняння, що зв'язує шукану функцію однієї змінної і похідні різних порядків даної функції.

У загальному випадку диференціальне рівняння можна записати у вигляді:

(2.7.1)

при цьому порядок старшої похідної, що входить у запис рівняння, називається порядком диференціального рівняння.

Означення. Розв’язком диференціального рівняння(2.7.1) називається така функція , яка при підстановці це рівняння перетворює його на тотожність.

Графік розв’язка диференціального рівняння називається інтегральною кривою.

Означення. Загальним розв’язкомдиференціального рівняння (2.7.1) -го порядку є розв’язок виду:

(2.7.2)

який є функцією змінної і довільних незалежних сталих . (Незалежність сталих означає відсутність будь-яких співвідношень між ними).

Означення. Частинним розв’язкомдиференціального рівняння називається розв’язок, що одержаний із загального розв’язка, при деяких конкретних числових значеннях сталих .

До диференціальних рівнянь призводять багато задач економіки, фізики, біології, екології і т.п.

Означення. Диференціальне рівняння першого порядку називається рівнянням зі змінними, що розділяються, якщо воно може бути представлене у вигляді:

(2 7.3)

або у вигляді:

(2.7.4)

де – деякі функції змінної ; – функції змінної .

Для розв’язання такого рівняння його варто перетворити до виду, у якому диференціал і функції змінної виявляться в одній частині рівності, а змінної – в іншій. Потім проінтегрувати обидві частини отриманої рівності.

Приклад 2.7.1.Розв’язати рівняння .