Диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами

Лінійне диференціальне рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами має вигляд:

(2.9.1)

де – деякі дійсні числа, – деяка функція. Ми будемо розглядати однорідні рівняння (), тобто рівняння виду

(2.9.2)

Розглянемо розв’язок лінійного однорідного рівняння із сталими коефіцієнтами.

Для знаходження загального розв’язка однорідного рівняння виписуємо його характеристичне рівняння:

.

Знаходимо його корені. При цьому, якщо:

1. Корні дійсні і різні, тобто , тоді загальний розв’язок рівняння має вигляд:

(2.9.3)

2. Корні дійсні і кратні, тобто , тоді загальний розв’язок рівняння має вигляд:

(2.9.4)

3. Корні комплексні, тобто , тоді загальний розв’язок має вигляд:

(2.9.5)

Приклад 2.9.1. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння .

Розв’язання. Запишемо і вирішимо характеристичне рівняння:

, .

Тоді загальний розв’язок даного рівняння має вигляд:

.

Приклад 2.9.2.Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння

Розв’язання. – корні кратні, дійсні– загальний розв’язок.