Лінійне диференціальне рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами має вигляд:
(2.9.1)
де – деякі дійсні числа, – деяка функція. Ми будемо розглядати однорідні рівняння (), тобто рівняння виду
(2.9.2)
Розглянемо розв’язок лінійного однорідного рівняння із сталими коефіцієнтами.
Для знаходження загального розв’язка однорідного рівняння виписуємо його характеристичне рівняння:
.
Знаходимо його корені. При цьому, якщо:
1. Корні дійсні і різні, тобто , тоді загальний розв’язок рівняння має вигляд:
(2.9.3)
2. Корні дійсні і кратні, тобто , тоді загальний розв’язок рівняння має вигляд:
(2.9.4)
3. Корні комплексні, тобто , тоді загальний розв’язок має вигляд:
(2.9.5)
Приклад 2.9.1. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння .
Розв’язання. Запишемо і вирішимо характеристичне рівняння:
, .
Тоді загальний розв’язок даного рівняння має вигляд:
.
Приклад 2.9.2.Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння
Розв’язання. – корні кратні, дійсні– загальний розв’язок.