Інтегральна ознака збіжності ряду

Нехай члени ряду додатні і не зростають, а – така неперервна не зростаюча функція, що:

.

Тоді:

1) ряд збігається, якщо невласний інтеграл збігається (дорівнює скінченому числу);

2) ряд розбігається, якщо невласний інтеграл розбігається, тобто дорівнює , або він не існує.

Приклад 2.11.3.Дослідити збіжність ряду .

Розв’язання. Застосуємо інтегральну ознаку, поклавши . Ця функція задовольняє всім умовам ознаки.

Розглянемо інтеграл.

тобто для випадку :

інтеграл збігається ряд збігається.

Для випадку :

інтеграл розбігається ряд розбігається.

Для випадку інтеграл розбігається ряд розбігається.