Деякі правила обчислення визначників

Наведене правило обчислення визначників третього порядку (1.2.3) називається правилом трикутника. Його можна представити наступною схемою:

(1.2.4)

Необхідно запам’ятати, що для добутків елементів, які розташовані на головній діагоналі та на паралелях до головної діагоналі, з додаванням третього множника з протилежного кута таблиці, знак не змінюється; для добутків елементів, які розташовані на побічній діагоналі та на паралелях до побічної діагоналі, з додаванням третього множника з протилежного кута таблиці, знак змінюється на протилежний.

2. Правило Сарюса.

Перший та другий стовпці треба виписати праворуч від визначника і перемножити елементи, що стоять на головних і побічних діагоналях:

(1.2.5)

3. Обчислення визначника за елементами будь-якого рядка або стовпця.

Теорема Лапласа.Визначник - го порядку дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) на їх алгебраїчні доповнення, тобто

,

де – алгебраїчне доповнення елемента .

Означення.Алгебраїчним доповненням елемента матриці - го порядку називається число

, (1.2.6)

де – мінор елемента .

Означення.Мінором елемента матриці - го порядку називається визначник матриці -го порядку, отриманий з матриці після викреслювання -го рядка та -го стовпця.

Зауваження.Алгебраїчне доповнення збігається з мінором, коли сума номерів рядка та стовпця () є парним числом, і відрізняється від мінору знаком, коли сума () є непарним числом.

Зауваження.Якщо всі елементи -го рядка (-го стовпця) визначника матриці , крім одного , дорівнюють нулю, то визначник дорівнює добутку цього ненульового елемента на його алгебраїчне доповнення , тобто . Це важливе зауваження використовують при обчисленні визначників.

Приклад 1.2.3.Обчислити визначник матриці третього порядку, використовуючи: а) правило трикутника; б) правило Сарюса; в) за елементами першого стовпця.