Курс лекций по НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Казанский Государственный Технический Университет им. А.Н. Туполева
Кафедра начертательной геометрии и машиностроительного черчения
Курс лекций по
НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Казань 2001 г.
УДК 515/075/ Начертательная геометрия (Краткое изложение основных разделов курса):… Автор: Морозов С.А.Вспомогательные точки - цифрами 1, 2, 3, ...
Символическая запись операций:
1. Точка А лежит на прямой l – А Ì l ;
2. Прямая l проходит через точку А - l É A;
Совпадают, равны, результат действия;
4. || - параллельны; а || b ;
5. ^ - перпендикулярно; а ^ b;
6. Ç - пересечение множеств: l Ç a = K;
7. Ù - конъюнкция предложений - соответствует союзу “и”;
8. Þ - импликация - логическое следствие, означает “если ...то”.
Ucirc; - эквивалентность.
Оглавление
Стр.
ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………………………………………….
1. ПОНЯТИЕ ОБ ОПЕРАЦИИ ПРОЕЦИРОВАНИЯ…………………………………………………
1.1. Основные свойства ортогонального поецирования………………………
1.2. ЭПЮР ГАСПАРА МОНЖА ИЛИ КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ……………………………..
1.3. БЕЗОСНЫЙ КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ………………………………………………………
2. ПРЯМАЯ. ПРОЕКЦИИ ПРЯМОЙ ЛИНИИ………………………………………………………
2.1. ПРЯМЫЕ ОБЩЕГО И ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ………………………………………..
ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНОЙ ВЕЛИЧИНЫ И УГЛОВ НАКЛОНА
ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ К ПЛОСКОСТЯМ ПРОЕКЦИЙ…………………………………….
2.4. СЛЕДЫ ПРЯМОЙ ЛИНИИ……………………………………………………………………….
2.5. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ………………………..
3. ПЛОСКОСТЬ. ЗАДАНИЕ ПЛОСКОСТИ НА КОМПЛЕКСНОМ ЧЕРТЕЖЕ……………….
3.1 ПЛОСКОСТИ ОБЩЕГО И ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ………….
3.2. ПРЯМЫЕ И ТОЧКИ НА ПЛОСКОСТИ. ГЛАВНЫЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ………
ЛИНИИ НАИБОЛЬШЕГО НАКЛОНА ПЛОСКОСТИ К ПЛОСКОСТЯМ ПРОЕКЦИЙ..
4.1 ВЗАИМНАЯ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ……………………………… 4.2 ВЗАИМНАЯ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ………………………………… 4.3 ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ…………………………………..ВЗАИМНАЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ДВУХ ПРЯМЫХ ОБЩЕГО
ПОЛОЖЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ…………………………………………………………..
ВЗАИМНАЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ………………………………………………
8. МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ И СПОСОБЫ ИХ РЕШЕНИЯ…………………………………………
8.1. РЕШЕНИЕ МЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В ОБЩЕМ ВИДЕ………………………………………
РЕШЕНИЕ МЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ СПОСОБАМИ
8.3. ИЗМЕРЕНИЕ РАССТОЯНИЙ…………………………………………………………………….. 8.4. ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ……………………………………………………………………………….. 9. КРИВЫЕ ЛИНИИ И КРИВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ…………………………………………………..СЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПРОЕЦИРУЮЩЕЙ ПЛОСКОСТЬЮ И ПРЯМОЙ ЛИНИЕЙ
10.9 КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ…………………………………………………………………………..
10.10 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С КРИВОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ…………………………………
10.11. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ…………………………………
10.12. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА………………….
10.13. РАЗВЕРТКИ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ……………………………………………………..
11. АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ……………………………………………………………..
11.1. ТЕОРЕМЫ ОРТОГОНАЛЬНОЙ АКСОНОМЕТРИИ………………………………………….
11.2. СТАНДАРТНЫЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ…………………………………...
ИЗОБРАЖЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ В КООРДИНАТНОЙ
ПЛОСКОСТИ ИЗОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОЕКЦИИ………………………………………………………………..
ИЗОБРАЖЕНИЕ ОКРУЖНОСТЕЙ В КООРДИНАТНЫХ ПЛОСКОСТЯХ
ДИМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОЕКЦИИ……………………………………………………………………….
ПОСТРОЕНИЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
ПРОСТЕЙШИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ И ЗАДАНИЕ ТОЧЕК
НА ИХ ПОВЕРХНОСТЯХ…………………………………………………………………………………………….
12. ПЛОСКОСТИ И ПРЯМЫЕ, КАСАТЕЛЬНЫЕ К КРИВЫМ ПОВЕРХНОСТЯМ……………..
12.1. Проведение касательных к плоским кривым линиям…………………..
ПЛОСКОСТИ И ПРЯМЫЕ, КАСАТЕЛЬНЫЕ К КРИВОЙ ПОВЕРХНОСТИ В
ДАННОЙ ТОЧКЕ…………………………………………………………………………………………..
12.3. ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ ПЛОСКОСТЕЙ, КАСАТЕЛЬНЫХ К НЕКОТОРЫМ КРИВЫМ ПОВЕРХНОСТЯМ…………………………………………………………………………………………………….
ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ ПРЯМЫХ, КАСАТЕЛЬНЫХ К КРИВЫМ
ПОВЕРХНОСТЯМ В ДАННОЙ ТОЧКЕ………………………………………………………………..
12.5. ВЗАИМНОЕ КАСАНИЕ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ………………………………………..
ПОСТРОЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕСТ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
ВВЕДЕНИЕ Настоящее учебное пособие представляет собой краткое изложение основных… Предметом начертательной геометрии, как и геометрии вообще, являются пространственные формы и отношения между ними.…ПОНЯТИЕ ОБ ОПЕРАЦИИ ПРОЕЦИРОВАНИЯ
Аппарат проецирования состоит из двух основных частей и таких аппаратов проецирования в основном два: аппарат центрального проецирования и аппарат параллельного проецирования.
Аппарат центрального проецирования состоит из плоскости проекций p и центра проецирования S. Причем центр проецирования не принадлежит плоскости проекций (рис. 1.1). Проецирование осуществляется с помощью проецирующих лучей, исходящих из центра проецирования S.
Аппарат параллельного проецирования состоит из плоскости проекций p и направления проецирования S, которое не параллельно плоскости проекций (рис.1.2). Проецирующие лучи, в данном случае, проводятся параллельно направлению S.
В точке пересечения проецирующего луча с плоскостью проекций и располагается соответствующая проекция точки. Проекции точек, как и сами точки, обозначаются заглавными буквами латинского алфавита, но с соответствующими индексами. На рис. 1.1 и 1.2 они обозначены индексами “штрих”.
Рис.1.1 Рис.1.2
Частным случаем параллельного проецирования является проецирование ортогональное, то есть прямоугольное, когда направление проецирования S перпендикулярно плоскости проекций. Этот способ является основным способом проецирования, принятым при построении технических чертежей.
Основные свойства ортогонального поецирования
Основные свойства ортогонального проецирования известны из курса стереометрии средней школы. Вот некоторые из них:
Проекция точки - есть точка;
2. Проекция прямой (в общем случае) – есть прямая линия;
3. Если точка лежит на прямой, то проекция этой точки будет принадлежать проекции прямой: А Î l ® A` Î l`;
4. Если две прямые в пространстве параллельны, то их одноименные проекции также параллельны: a || b ® a` || b`;
5. Если две прямые пересекаются в некоторой точке, то их одноименные проекции пересекаются в соответствующей проекции этой точки: m Ç n = K ® m` Ç n` = K`;
6. Пропорциональность отрезков, лежащих на одной прямой или на двух параллельных прямых, сохраняется и на их проекциях (рис.1.3): АВ:СD = А`B`:C`D`
Если одна из двух взаимно перпендикулярных прямых параллельна плоскости проекций, то прямой угол проецируется на эту плоскость прямым углом (рис.1.4).
Рис.1.3 Рис.1.4
ЭПЮР ГАСПАРА МОНЖА ИЛИ КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ
Путем вращения одной из этих плоскостей проекций вокруг линии пересечения - оси х, до совмещения в единую плоскость получается плоское изображение,… Рис.1.5 Рис.1.6БЕЗОСНЫЙ КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ
Постоянная прямая комплексного чертежа - линия к - позволяет обойтись без применения осей проекций. Такие чертежи широко применяются в проекционном черчении (рис.1.11).
Рис. 1.11
При необходимости оси проекций всегда могут быть построены, выбраны в любом месте, с началом координат на линии к0.
Литература: Гордон В.О. и др. Курс начертательной геометрии., Гл. 1; Фролов С.А. Начертательная геометрия. Гл. 1, §§ 5,6,7; Локтев В.О. Краткий курс начертательной геометрии Гл.1.
ПРЯМАЯ. ПРОЕКЦИИ ПРЯМОЙ ЛИНИИ
Положение прямой линии в пространстве вполне определяется двумя точками, через которые она проходит. Разумеется, что на чертеже, прямая линия может быть задана двумя ее проекциями
ПРЯМЫЕ ОБЩЕГО И ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ
Прямая линия в пространстве может занимать как общее, так и частные положения.
Если прямая линия не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций, то такую прямую линию называют прямой общего положения в пространстве (рис. 2.1 и 2.2).
Рис.2.1 Рис.2.2
К прямым линиям частного положения, относятся прямые линии, параллельные одной из плоскостей проекций и прямые, перпендикулярные к одной из плоскостей проекций. Прямые линии перпендикулярные к одной из плоскостей проекций будут в то же время параллельными двум другим плоскостям проекций.
Прямые линии, параллельные одной из плоскостей проекций, называются прямыми уровня.
Среди них различают: прямую параллельную горизонтальной плоскости проекций (горизонтальная прямая уровня - горизонталь), которую обозначают буквой h (рис. 2.3);
Прямую параллельную фронтальной плоскости проекций (фронтальная прямая уровня - фронталь), которую обозначают буквой f (рис. 2.4);
Прямую, параллельную профильной плоскости проекций (профильная прямая уровня), которую обозначают буквойр. (рис. 2.5).
Рис. 2.3 Рис. 2.4 Рис. 2.5
Среди прямых, перпендикулярных к плоскостям проекций, выделяют:
Горизонтально проецирующие прямые - прямые, перпендикулярные к горизонтальной плоскости проекций (рис. 2.6);
фронтально проецирующие прямые – прямые, перпендикулярные к фронтальной плоскости проекций (рис. 2.7);
профильно проецирующие прямые – прямые, перпендикулярные к профильной плоскости проекций (рис. 2.8).
Рис. 2.6 Рис. 2.7 Рис. 2.8
2.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНОЙ ВЕЛИЧИНЫ И УГЛОВ НАКЛОНА ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ К ПЛОСКОСТЯМ ПРОЕКЦИЙ.
Натуральная величина отрезка прямой есть гипотенуза прямоугольного треугольника, катетами которого являются одна из его проекций и разность координат другой проекции отрезка относительно оси проекций (рис.2.9; 2.10). Этот прием называют “способом прямоугольного треугольника”.
Рис. 2.9 Рис. 2.10
Измерение натуральной величины отрезка прямой можно выполнить одним циркулем-измерителем, если воспользоваться прямым углом между осью проекций и линией связи и отложить по сторонам этого угла проекцию отрезка, а по другой - разность координат концов другой проекции отрезка.
СЛЕДЫ ПРЯМОЙ ЛИНИИ
“Следами” прямой линии называют точки пересечения прямой с плоскостями проекций. У прямой линии могут быть максимум три следа на основных плоскостях проекций.
Таким образом, прямая линия на чертеже, может быть задана ее следами.
Нахождение следов прямой линии показано на рис.(2.11;12).
Рис.2.11 Рис.2.12
ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ
Из стереометрии известно, что две прямые в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися и скрещивающимися. (рис.2.13, 2.14, 2.15).
Рис. 2.13 Рис. 2.14 Рис. 2.15
Видимость двух скрещивающихся прямых (одна прямая на той или иной плоскости проекций может перекрывать другую прямую или быть перекрыта этой прямой). Для определения “видимости” линий в этом случае можно воспользоваться так называемыми “конкурирующими” точками, то есть точками, лежащими на одной проецирующей прямой. На рис.2.15 такими конкурирующими точками являются точки 1 и 2 и 3 и 4.
Литература: Гордон В.О. и др. Курс начертательной геометрии. §§10,11-14.; Фролов С.А. Начертательная геометрия. с. 34,-38.; Локтев В.О. Краткий курс начертательной геометрии. Гл.II.
ПЛОСКОСТЬ. ЗАДАНИЕ ПЛОСКОСТИ НА КОМПЛЕКСНОМ ЧЕРТЕЖЕ.
Плоскость на комплексном чертеже можно задать:
Тремя точками, не лежащими на одной прямой;
Точкой и прямой, не проходящей через эту точку;
Двумя параллельными прямыми;
Двумя пересекающимися прямыми;
Плоской фигурой;
Следами.
Следами плоскости называются линии пересечения плоскости с плоскостями проекций.
Некоторые примеры задания плоскости.
Плоскость b(D А, В, С) - заданная плоской фигурой (рис. 3.1). Плоскость a (h0 Ç f0) - заданная следами этой плоскости на плоскостях проекций - линиями h0a и f0a (рис.3.2а и 3.2б).
Рис. 3.1 Рис. 3.2а Рис. 3.2б
ПЛОСКОСТИ ОБЩЕГО И ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ.
Плоскости, не параллельные и не перпендикулярные ни к одной из плоскостей проекций, называются плоскостями общего положения в пространстве (рис.3.1… Плоскости, перпендикулярные к одной из плоскостей проекций, называются…Рис. 3.4а Рис. 3.4б Рис. 3.4с
ПРЯМЫЕ И ТОЧКИ НА ПЛОСКОСТИ. ГЛАВНЫЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.
Рис.3.5 Рис.3.6 Рис.3.7ЛИНИИ НАИБОЛЬШЕГО НАКЛОНА ПЛОСКОСТИ К ПЛОСКОСТЯМ ПРОЕКЦИЙ
Линии наибольшего наклона плоскости a к горизонтальной и фронтальной плоскостям проекций показаны на рис.3.9а и 3.9б, 3.10а и 3.10б. Рис.3.9а Рис.3.9б Рис.3.10а Рис.3.10бВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ.
ВЗАИМНАЯ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.
Из стереометрии известно: Если прямая параллельна какой-нибудь прямой, расположенной в плоскости, то она параллельна самой плоскости.
Пример 1 (рис.4.1). Найти горизонтальную проекцию прямой n, параллельной данной плоскости a (DАВС).
Рис.4.1
Решение:
Проведем в плоскости треугольника АВС прямую m”, параллельную n”, заданной прямой n.
Найдем ее горизонтальную проекцию m’ и параллельно ей через точку M’ проведем искомую прямую n’.
ВЗАИМНАЯ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
Из стереометрии известно: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Пример 2 (рис.4.2). Через точку А провести плоскость b, параллельную плоскости a(аÇb).
Рис.4.2
Решение:
Проведем через точку А прямые с и d, соответственно параллельные прямые а и b заданной плоскости a, получим плоскость b(сÇd), параллельную заданной плоскости.
Две плоскости a(h0aÇf0a) и b(h0bÇf0b) будут параллельны между собой, если одноименные следы этих плоскостей будут попарно параллельны (рис.4.3).
Рис. 4.3а Рис. 4.3б
ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.
1. Обе геометрические фигуры проецирующего положения по отношению к плоскостям проекций (рис.4.4а и 4.4б). Рис. 4.4 а Рис. 4.4 бВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
1. Обе плоскости проецирующего положения по отношению одной или разным плоскостям проекций (рис.4.7а и 4.7б). Рис. 4.7а Рис. 4.7бВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ, ЗАДАННЫХ СЛЕДАМИ.
Линия взаимного пересечения плоскостей, заданных следами, проходит через точки пересечения их одноименных следов. Решение задачи показано на рис.4.10а и 4.10б.
Рис. 4.10а Рис. 4.10б
Литература: Фролов С.А. Начертательная геометрия. 2-е изд., изд.Машиностр. 1983., §§44;с.170. Гордон В.О. и др. Курс начерт. геом., Глава IV до перпендикулярности. Локтев В.О. Краткий курс начерт.геом. 1985. §§11, 12.
ИЗОБРАЖЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ
Многогранником называют тело, ограниченное плоскими многоугольниками. Многогранник, расположенный по одну сторону от плоскости его грани, называют выпуклым.
Грани, вершины, и ребра многогранников связаны между собой соотношением, называемым теоремой Л. Эйлера: Г+В-Р=2, где: Г - число граней, В - число вершин и Р - число ребер.
Число граней многогранника не может быть меньше четырех, а сумма углов многоугольников, сходящихся в одной вершине, многогранных углов, не должно быть больше 2p.
Основные виды многогранников: пирамида, призма, правильные многогранники и многогранники, имеющие соответствующие одинаковые двугранные углы.
Многогранник представляет собой частный случай замкнутой многогранной поверхности.
ВИДЫ МНОГОГРАННИКОВ
Пирамида представляет собой многогранник, у которого одна грань (произвольный многоугольник) принимается за основание, а остальные (боковые) грани -… Правильными называются такие многогранники, у которых все грани - правильные… В правильном шестиугольнике углы равны 2p/3, поэтому в правильном многограннике грань не может быть шестиугольником. …Тетраэдр Гексаэдр Додекаэдр
При изображении многогранника видимость его ребер и граней определяется с помощью конкурирующих точек.
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ МНОГОГРАННИКА
Задача на пересечение прямой с поверхностью многогранника решается с помощью вспомогательной секущей проецирующей плоскости, проводимой через заданную прямую (рис.4.12).
Рис.4.12
Вспомогательная горизонтально проецирующая плоскость b(b`) проведена через прямую l.
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКА ПЛОСКОСТЬЮ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
Задача на пересечение многогранника плоскостью общего положения решается с помощью вспомогательных секущих плоскостей. На рис. 4. 12а приведен пример пересечения трехгранной призмы DEFD1E1F1 плоскостью треугольника АВС.
Рис. 4.12а
Задача на рис. 4. 12а решена с помощью вспомогательных секущих плоскостей:
a(a``), проведенной через сторону АВ треугольника АВС, которая пересекла призму по треугольнику 123, точки пересечения M и N c FD принадлежат искомой линии пересечения,
и вспомогательных секущих плоскостей b(b`) и g(g``), с помощью которых найдены соответственно точки P и Q линии MPQN пересечения призмы DEFD1E1F1 c треугольником АВС.
Определение видимости на чертеже не показано.
СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА
Рассматривая способы решения позиционных задач в предыдущих разделах, следует отметить, что задачи решаются значительно проще, если геометрические объекты (прямые или плоскости) занимают частные положения относительно плоскостей проекций. Особенно это важно при решении метрических задач (определение натуральных значений расстояний, длин, площадей, углов и т. п.).
Перевод геометрического объекта из общего положения в частное можно осуществить двумя путями:
1. изменением положения плоскостей проекций относительно геометрических объектов, которые остаются неподвижными;
2. перемещением геометрических объектов относительно плоскостей проекций, которые остаются неподвижными.
СПОСОБ ВВЕДЕНИЯ НОВЫХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ
1. Новая плоскость проекций должны быть перпендикулярной к одной из имеющихся плоскостей проекций. Любую, перпендикулярную к p1 или p2 плоскость, можно принять за новую плоскость проекций p3 или p4 (рис.5.1,5.2).
Рис.6.1 Рис.6.2
Этим способом можно решить четыре основные задачи на преобразование комплексного чертежа:
1. преобразование прямой общего положения в прямую уровня;
2. преобразование прямой общего положения в проецирующую прямую;
3. преобразование плоскости общего положения в проецирующую плоскость;
4. преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня.
Рассмотрим эти задачи на примерах.
Пример 1. Преобразовать прямую а общего положения в прямую уровня и затем в проецирующую прямую (рис.6.3).
Решение: Выберем на прямой а две точки А и В и введем новую плоскость проекций p3, параллельную горизонтальной проекции этой прямой и перпендикулярно плоскости p1, и спроецируем прямую а (А, В) ортогонально на эту плоскость. Получим новую проекцию а”’(A”’,B’”) . Первая основная задача решена. Чтобы решить вторую основную задачу, продолжим построения дальше: Введем новую плоскость проекций p4, перпендикулярную проекции а”’(A”’,B’”). Эта плоскость пересечет p3 по оси х2. Спроецируем на новую плоскость нашу прямую а (А, В) в точку аIV (AIV, BIV).Вторая основная задача решена. Она, как промежуточное построение, содержит первую основную задачу.
Рис. 6.3
Пример 2. Преобразовать плоскость общего положения a(DАВС) в проецирующую плоскость с последующим переводом ее в плоскость уровня рис. 6.4 (третья и четвертая основные задачи).
Рис.6.4
Решение: Проведем в плоскости треугольника АВС линию уровня, например, горизонталь h, и введем новую плоскость проекций p3, перпендикулярную этой линии уровня, и спроецируем на нее треугольник АВС. Получим прямую (B”’C”’A”’), в которую он выродится. Третья основная задача решена. Решаем четвертую основную задачу “преобразование проецирующей плоскости в плоскость уровня”. Параллельно прямой (B”’C”’A”’) вводим новую плоскость проекций p4на которую заданный треугольник АВСбудет проецироваться в натуральную величину. Четвертая основная задача решена.
ПОСТРОЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ ФИГУР ПО ЗАДАННОМУ НАПРАВЛЕНИЮ
Пример 1. Построить изображение окружности по стрелке S.(рис.6.5). Решение: Поскольку направление S параллельно фронтальной плоскости проекций,… Рис.6.5СПОСОБЫ ВРАЩЕНИЯ ВОКРУГ ПРЯМЫХ ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ
К способам вращения вокруг прямых частного положения относятся способы вращения вокруг проецирующих прямых и прямых уровня. Последний способ называется способом совмещения.
СПОСОБ ВРАЩЕНИЯ ВОКРУГ ПРОЕЦИРУЮЩИХ ПРЯМЫХ
Рис.6.7 Рис.6.8 Для решения четырех основных задач на преобразование комплексного чертежа выбор осей вращения осуществляется из…СПОСОБ ВРАЩЕНИЯ ВОКРУГ ЛИНИИ УРОВНЯ
На рис.6.11 приведен пример определения натуральной величины треугольника АВС. Это решение равносильно решению четвертой основной задачи на… Во-первых, в плоскости заданного треугольника проводится линия уровня,… Во-вторых, поворот можно осуществить преобразовав заданную плоскую фигуру - треугольник АВС - в проецирующую…CПОСОБ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
Из планиметрии известно о преобразованиях “движение”, которые включают в себя ряд преобразований: параллельный перенос, вращение, преобразование… Рис.6.15(Параллельный перенос) Рис.6.16 (Поворот)ВЗАИМНАЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
Теоретической предпосылкой для построения на комплексном чертеже проекций прямых и плоскостей, перпендикулярных по отношению друг к другу в пространстве, служит свойство проекции прямого угла, одна из сторон которого параллельна какой-либо плоскости проекции:
Если одна из сторон прямого угла параллельна плоскости проекции, то на данную плоскость прямой угол будет проецироваться прямым углом (рис.7.1, 7.2, 7.3).
Рис.7.1 Рис.7.2
Рис.7.3
ВЗАИМНАЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
Из стереометрии известно, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, принадлежащим этой плоскости.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости на чертеже.
Если в пространстве прямая перпендикулярна плоскости, то на чертеже горизонтальная проекция прямой должна быть перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция - к фронтальной проекции фронтали этой плоскости (рис.7.4, 7.5).
Рис.7.4
Рис.7.5
ВЗАИМНАЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ДВУХ ПРЯМЫХ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Две прямые в пространстве будут взаимно перпендикулярными, если одна из них лежит в плоскости, перпендикулярной к другой прямой.
Пример (рис.7.6). Найти горизонтальную проекцию прямой а, проходящей через точку А и перпендикулярную к прямой b.
Рис.7.6
Решение: Проведем через точку А плоскость a(hÇf), перпендикулярную заданной прямой b, так как любая прямая, лежащая в этой плоскости, будет перпендикулярна прямой b.
С помощью вспомогательной прямой mнайдем точку M`, принадлежащую искомой прямой а, и проведем проекцию а` этой прямой.
ВЗАИМНАЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Две плоскости в пространстве будут взаимно перпендикулярными, если одна из них содержит прямую, перпендикулярную к другой плоскости.
Пример (рис.7.7).
Через прямую l провести плоскость l, перпендикулярную к заданной плоскости b(hÇf).
Рис.7.7
Решение: Через произвольную точку М на прямой l проведем прямую n, перпендикулярную к заданной плоскости b(hÇf).Условие перпендикулярности согласно п.7.1. Пересекающиеся прямые l и n и определят искомую плоскость l(nÇl).
МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ И СПОСОБЫ ИХ РЕШЕНИЯ
Первая задача - задача на перпендикулярность прямой линии и плоскости (п.7.1). Вторая основная задача - задача на измерение расстояния между двумя точками… Эти задачи называют основными потому, что на их основании можно решить любую другую метрическую задачу, то есть…РЕШЕНИЕ МЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В ОБЩЕМ ВИДЕ
Рассмотрим решение одной из метрических задач на примере, когда ее решение сводится к решению двух основных метрических задач.
Пример (рис.8.1).Измерить расстояние от точки А до плоскости a(hÇf).
Рис.8.1
Решение:
1.Опустим из точки А перпендикуляр на плоскость a(hÇf) и найдем его основание - точку К.
2.Способом прямоугольного треугольника измерим истинную величину отрезка АК.
Задача решена |АК|=А0K`.
РЕШЕНИЕ МЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ СПОСОБАМИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА
Способами преобразования комплексного чертежа могут быть решены только те метрические задачи, которые имеют только один геометрический элемент, несущий на себе одну искомую численную характеристику.
Алгоритм решения метрической задачи с помощью преобразования комплексного чертежа сводится к следующему:
1) определяется геометрический элемент оригинала, несущий на себе искомую численную характеристику и,
2) определяется “решающее положение” оригинала по отношению к плоскости проекций. (Решающим положением оригинала называют такое положение, при котором геометрический элемент, несущий на себе искомую численную характеристику, может быть спроецирован на плоскость проекций без искажений).
Решающих положений может быть только четыре, и им соответствуют и четыре известных задачи на преобразование комплексного чертежа.
ИЗМЕРЕНИЕ РАССТОЯНИЙ
· когда прямая перпендикулярна плоскости проекций, то есть когда решена вторая задача на преобразование (рис.8.2); · когда прямая и точка расположены в плоскости, параллельной плоскости… 2.Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми будет проецироваться на плоскость чертежа без искажения, когда одна…ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ
2. Угол между двумя плоскостями измеряется линейным углом двугранного угла, то есть тогда, когда линия пересечения плоскостей будет перпендикулярна… 3. Угол между прямой и плоскостью измеряется углом между прямой и ее проекцией…КРИВЫЕ ЛИНИИ И КРИВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
КРИВЫЕ ЛИНИИ
Кривую линию можно рассматривать как след движущейся в пространстве точки или как совокупность точек, удовлетворяющих определенному уравнению. Кривая линия может являться результатом пересечения между собой кривых поверхностей или пересечения кривой поверхности плоскостью.
Если все точки кривой линии лежат в плоскости, то она является плоской, в противном случае - пространственной.
ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ ЛИНИИ
Линии первого порядка - прямые линии. Кривые линии второго порядка - линии, алгебраическое уравнение которых -… Линии второго порядка - это плоские кривые, определяемые: пятью точками, или четырьмя точками и одной касательной, или…Рис.9.1 Рис.9.2
2. С помощью двух концентрических окружностей. (Рис.9.2).
Проводятся две концентрические окружности радиусами ОА и ОВ, а затем из центра О - произвольно выбранные лучи, пересекающие обе окружности в точках 1 и 2 соответственно. С помощью лучей: 11-М1 и 21-М1 соответственно находят точки М1 очерка эллипса.
3.по сопряженным диаметрам эллипса (рис.9.3).
Рис.9.3
Если заданы главные оси или два сопряженных диаметра эллипса, то есть такие диаметры, которые делят хорды, соответственно параллельные другому его диаметру пополам, то очерк эллипса можно построить по точкам, указанным на рис.9.3, способом.
ГИПЕРБОЛА.
Гипербола определяется уравнением х2/а2 - y2/b2 =1
Рис.9.4
Гипербола обладает центром и двумя осями симметрии, имеет две несобственные точки.
Ось симметрии, называемая действительной, пересекает ветви кривой в вершинах А и А1. Ось, перпендикулярная к действительной оси (и не пересекающую кривую), называют мнимой. Прямые линии, проходящие через центр и определяющие несобственные точки М¥ и N¥, называются асимптотами. При построении гиперболы желательно определить ее центр, диаметр АА и асимптоты. Гипербола, как и эллипс, обладает многими свойствами, на основании которых можно найти множество точек этой кривой. Гипербола - множество точек плоскости, разность расстояний (радиусов-векторов) которых до двух данных точек (фокусов) есть величина постоянная (равная 2а - действительной оси гиперболы)(рис.9.4).
Множество точек гиперболы находят так: из фокусов F1 и F2 радиусами Ri и Ri+2a постепенно увеличивая радиус Ri проводят серию дуг окружностей. Точки пересечения этих дуг и есть искомые точки гиперболы, как это сделано на чертеже.
2. Построение гиперболы по ее осям, вершинам и точке М. (рис.9.5).
Рис.9.5
Через точку М проводят прямые линии, параллельные осям гиперболы и получают прямоугольник МРА1Q, а затем диагональ PQ. Из вершины А проводят произвольный луч, пересекающий МQ в точке 11, а из точки 11 - прямую, параллельную PQ, получая точку 21. Луч А121 пересечет луч А1 в точке М1, принадлежащей гиперболе. Аналогично находятся другие точки гиперболы. Вторая ветвь гиперболы симметрично найденной.
ПАРАБОЛА.
Парабола определяется уравнением х2=2pz. (y2=2px). Парабола имеет одну ось симметрии и одну несобственную на ней точку.
Рис.9.6 Рис.9.7
Парабола - множество точек плоскости, равноудаленных от точки (фокуса) и прямой (директрисы), лежащих в плоскости. Величина р - расстояние между фокусом и директрисой - параметр параболы. На этом свойстве и основано построение параболы, по заданным фокусу и директрисе (рис.9.6).
Парабола может быть построена по ее оси, вершине А и точке М одним из двух способов (рис.9.7). Построение точек указано стрелками.
Все диаметры параболы параллельны ее оси, так как центр параболы - несобственная точка. Хорды параболы, которые делятся одним из диаметров пополам, называются сопряженными с этим диаметром. Касательная в конце такого диаметра параллельна сопряженным с ним хордам. (рис.9.8).
Рис.9.8 Рис.9.9
Простой способ проведения касательной к параболе в данной точке дан на рис. 9.9.
ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ КРИВЫЕ.
Трансцендентными называют кривые линии, заданные, неалгебраическими уравнениями. Например, синусоида. Ее уравнение у=sin(x), характеризуют изменение синуса угла в зависимости от величины угла, или циклоида, параметрическое уравнение которой имеет вид: х=r(t - sint), y=r(1+сost).
Более подробно построение кривых линий описано в учебниках по машиностроительному черчению.
Литература. Левицкий В.С. Машиностроительного черчение: Учебник для студ. втузов - М.:Высш.шк., 1988.
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ
Пространственные кривые линии - это, главным образом, линии пересечения кривых поверхностей. Так, например, две поверхности второго порядка пересекаются по линии четвертого порядка, представляющей собой пространственную кривую.
ПРОЕЦИРОВАНИЕ КРИВЫХ ЛИНИЙ
Кривая линия в общем случае проецируется кривой линией (рис.9.10).
Рис.9.10
Алгебраические кривые проецируются кривыми линиями того же порядка, что и сами кривые. Кривые второго порядка проецируются кривыми линиями второго порядка. При параллельном проецировании эллипс и окружность проецируются в эллипс или, в частном случае, в окружность; проекция параболы - парабола, проекция гиперболы - гипербола. При проецировании окружности любая пара ее взаимно перпендикулярных диаметров проецируется парой сопряженных диаметров эллипса.
ОСОБЫЕ ТОЧКИ КРИВОЙ ЛИНИИ
Рис.9.11 Рис.9.12 Рис.9.13. К особым точкам кривых линий относят:ПОВЕРХНОСТИ
В окружающем нас мире мы встречаем бесконечное множество разнообразных поверхностей. Некоторые поддаются математическому описанию, другие настолько сложны, что невозможно в данный момент описать их математически. В математике под поверхностью понимается непрерывное множество точек. Если между координатами точек этого множества может быть установлена зависимость, определяемая уравнением вида F(x,y,z)=0, где F(x,y,z) –многочлен n-й степени, или в форме какой-либо трансцендентной функции. В первом случае поверхности называются алгебраическими, а во втором -трансцендентными.
СПОСОБЫ ОБРАЗОВАНИЯ И ЗАДАНИЯ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
В начертательной геометрии все геометрические объекты задаются графически. Поэтому кривая поверхность может рассматриваться как совокупность всех положений некоторой линии, движущейся в пространстве. Движущуюся линию в этом случае называют образующей поверхности, а линии (иногда и точки), определяющие закон ее перемещения, - направляющими. Такой способ образования поверхности получил название кинематический.
Рис. 10.1
Совокупность точек, линий и различных условий, определяющих закон перемещения образующей, называют также определителем поверхности.
КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Многообразие поверхностей, различные способы их образования, сложности геометрических характеристик затрудняют их классификацию. Основой классификации поверхностей могут послужить их определители или геометрические особенности, связанные с кинематическим способом их образования. Наиболее важными признаками формообразования поверхностей являются:
· вид образующей и закон ее перемещения;
· закон изменения образующей;
· развертываемость поверхности.
На рис. 10.2 приведена упрощенная классификация поверхностей.
 |
Рис. 10.2
Примеры некоторых поверхностей
Рис.10.3 Рис.10.4 Рис. 10.5 Рис.10.6 Рис. 10.7
Коническая Цилиндрическая Винтовая Сфера Тор
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Рис. 10.8 Рис.10.9 Рис.10.10ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
На рис.10.11 поверхность образована вращением образующей l вокруг оси i. При этом точки образующей перемещаются по окружностям, плоскости которых перпендикулярны к оси вращения.
Через любую точку на поверхности вращения можно провести только одну параллель и один меридиан. Наибольшую параллель называют экватором, а меридиан, параллельный плоскости проекций, - главным меридианом.
Рис.10.11 Рис.10.12
ПОВЕРХНОСТИ, ЗАДАВАЕМЫЕ КАРКАСОМ
В авиационной промышленности, в судостроении и автомобилестроении теоретическая поверхность изделия задается плоскими сечениями, параллельными… Если поверхность на чертеже задана своим определителем, то на ней можно…ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
1.Эллипсоиды. Они имеют каноническое уравнение следующего вида х2/а2 + y2/b2 + z2/c2=1. Эллипсоиды подразделяются на трехосные… Рис.10.16 Рис.10.17НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
2. Поверхность пересекается плоскостью по кривой второго порядка, которая может распадаться на две прямые (пересекающиеся, параллельные или… 3. Через два сечения поверхности второго порядка можно провести конус или… 4. Поверхность может быть задана двумя кривыми второго порядка и точкой, или касательной плоскостью. При этом на…СЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПРОЕЦИРУЮЩЕЙ ПЛОСКОСТЬЮ И ПРЯМОЙ ЛИНИЕЙ
Секущая плоскость, в данном случае проецирующая, пересечет линии каркаса в соответствующих точках, соединяя которые в определенной… Покажем это на примерах. Пример 1 (рис.10.22). Построить сечение цилиндра горизонтально проецирующей плоскостью b(b`).КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ
К коническим сечениям относятся кривые линии и частные случаи таких линий, получающиеся при пересечении конуса второго порядка плоскостью. К этим линиям относятся: эллипс (в частном случае окружность), гипербола (в частном случае две пересекающиеся прямые) и парабола ( в частном случае две совпавшие прямые линии) (рис.10.24, 10.25, 10.26).
Эллипс (плоскость a пересекает все образующие конуса).
Парабола (плоскость a параллельна только одной образующей конуса).
Гипербола (плоскость a параллельна двум образующим конуса SL1 и SL2).
Рис.10.24 Рис.10.25
Рис.10.26
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С КРИВОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
1. Заданную прямую заключают во вспомогательную секущую плоскость (чаще проецирующую); 2. Строят сечение заданной поверхности этой плоскостью; 3. Находят общие точки фигуры сечения с заданной прямой;ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
1. Возможности применения способа вспомогательных секущих плоскостей в качестве “посредников”. Вспомогательные секущие плоскости применимы, если заданы: - две поверхности вращения, оси которых перпендикулярны к одной из плоскостей проекций;ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Через две линии второго порядка, лежащие на одной поверхности второго порядка, можно провести другую поверхность второго порядка. Теорема Монжа: две поверхности второго порядка, описанные вокруг третьей поверхности второго порядка или вписанные в…РАЗВЕРТКИ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Построение полной развертки прямого кругового усеченного цилиндра вращения (рис. 10.41). Для построения развертки цилиндра достаточно представить его как призму с большим количеством граней (фактически…АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
При построении комплексного чертежа предмета последний обычно располагают так, чтобы направления трех главных измерений его были параллельны… Тогда длина и высота проецируются в натуральную величину на фронтальную… Такой чертеж нетрудно строить, по нему просто производить измерения, судить о размерах изображаемого предмета. Однако,…ТЕОРЕМЫ ОРТОГОНАЛЬНОЙ АКСОНОМЕТРИИ
Теорема. Аксонометрические оси ортогональной аксонометрии являются высотами треугольника следов
Теорема. Треугольник следов на прямоугольном трехграннике координат всегда остроуголен
Теорема. В ортогональной аксонометрии сумма квадратов показателей искажений всегда равна двум
Теорема Вейсбаха. Если стороны треугольника пропорциональны квадратам показателей искажения, то его биссектрисы могут быть приняты за аксонометрические оси.
Обратная теорема. Если биссектрисы какого-либо треугольника являются аксонометрическими осями, тогда этот треугольник есть треугольник искажений.
Теорема. Любой треугольник является треугольником искажений для некоторой прямоугольной аксонометрической системы.
Теорема. Сторону любого остроугольного треугольника можно принять за аксонометрические масштабы некоторой прямоугольной аксонометрической системы.
СТАНДАРТНЫЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
ГОСТ 2.317-69 устанавливает аксонометрические проекции, применяемые в чертежах всех отраслей промышленности и строительства. Рассмотрим из них прямоугольную изометрическую и прямоугольную диметрическую проекции.
Прямоугольная изометрическая проекция.
Положение осей и их построение видно из рис. 11.6 и 11.7.
Коэффициенты искажения по всем трем осям равны 0,82. При этом масштаб изображения будет натуральным, то есть М 1:1.
Рис.11.6 Рис.11.7
При выполнении изометрии возможно округление коэффициентов искажения до 1. Тогда масштаб изображения будет М 1,22 :1.
Прямоугольная диметрическая проекция
Положение осей и их построение видно из рис.11.8 и 11.9.
Коэффициенты искажения по осям 0х и 0y будут 0,94, а по оси 0y - 0,47. При этом масштаб изображения будет М 1:1. При округлении коэффициентов искажения соответственно до 1 и 0,5 масштаб изображения диметрической проекции будет М 1,06:1.
Рис.10.8 Рис.10.9
ИЗОБРАЖЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ В КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ ИЗОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОЕКЦИИ
Решение: Проведем в плоскости окружности несколько хорд, параллельных оси 0х, которые пересекут ее очерк в точках:1, 2, 3 ... Используя систему… Для этой цели используем приведенную изометрическую проекцию, при построении…ИЗОБРАЖЕНИЕ ОКРУЖНОСТЕЙ В КООРДИНАТНЫХ ПЛОСКОСТЯХ ДИМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОЕКЦИИ
Пример 2 (рис.11.14, 11.15, 11.16). Построить изображения окружностей в координатных плоскостях 00X0Z0 и 00Y0Z0 прямоугольной диметрической проекции. Диаметр окружности - 50 мм.
Рис.11.14 Рис.11.15 Рис.11.16.
ПОСТРОЕНИЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ ПРОСТЕЙШИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ И ЗАДАНИЕ ТОЧЕК НА ИХ ПОВЕРХНОСТЯХ
Пример 1 (рис.11.17). Построить изометрическую и диметрическую проекции заданного прямого кругового конуса.
Рис.11.17
Помимо стандартных прямоугольных изометрической и диметрической проекций возможны и прямоугольные триметрические проекции. Выбор которых возможен как вариант п.5 (рис.11.5).
ПЛОСКОСТИ И ПРЯМЫЕ, КАСАТЕЛЬНЫЕ К КРИВЫМ ПОВЕРХНОСТЯМ
Проведение касательных к плоским кривым линиям.
Рис.12.1 Рис.12.2ПЛОСКОСТИ И ПРЯМЫЕ, КАСАТЕЛЬНЫЕ К КРИВОЙ ПОВЕРХНОСТИ В ДАННОЙ ТОЧКЕ
Проведя касательные к каждой из этих кривых линий, получим две пересекающиеся прямые, определяющие одну и только одну плоскость t, касательную к… Любая прямая лежащая в касательной плоскости и проходящая через точку касания… Прямая n, проходящая через точку К и перпендикулярная к касательной плоскости t, являются нормалью поверхности в точке…ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ ПЛОСКОСТЕЙ, КАСАТЕЛЬНЫХ К НЕКОТОРЫМ КРИВЫМ ПОВЕРХНОСТЯМ
Плоскость, касательная к поверхности цилиндра или конуса, определяется образующей поверхности, по которой происходит касание, и прямой, касательной к кривой основания поверхности в точке пересечения этой образующей (рис.12.7).
Рис.12.7 Рис.12. 8
Плоскость, касательная к сфере в некоторой точке К, перпендикулярна к радиусу сферы, проведенному в эту точку касания (рис.12.8).
ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ ПРЯМЫХ, КАСАТЕЛЬНЫХ К
КРИВЫМ ПОВЕРХНОСТЯМ В ДАННОЙ ТОЧКЕ
Пример 1 (рис.12.9). Найти горизонтальную проекцию прямой t, касательной к поверхности конуса в точке К.
Решение: Чтобы построить прямую, касательную к кривой поверхности в данной точке, нужно сначала построить плоскость, касательную к поверхности в данной точке, а затем провести в этой плоскости искомую касательную.
Построение касательной плоскости рассмотрено нами выше на рис.12.7.
Построение понятно из чертежа. Касательная определяется точками К и М.
Рис.12. 9
Пример 2 (рис.12.10). Через точку А провести фронтальную прямую, касательную к цилиндрической поверхности вращения. Решение задачи ясно из чертежа. Плоскость t касается цилиндрической поверхности вращения по образующей, проходящей через точку К, найденную преобразованием чертежа.
Рис.12.10