ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ, КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по курсу «Математика»

Министерство образования Республики Беларусь

БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра « Высшая математика №3 »

 

ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ, КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ И

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

по курсу «Математика» для студентов-

заочников строительных специальностей экономического профиля

 

Минск 2011

 

 

УДК 51(075.4)

 

Издание содержит перечень программных вопросов по всем разделам курса математики. В данной работе приводятся тексты контрольных задач, соответствующих программе и методические указания по их выполнению. Издание предназначено для студентов-заочников первого и второго курсов строительных специальностей экономического профиля.

 

 

Составители:

Т.Н. Гурина, О.А. Мороз,

Л.А. Яблонская

 

Рецензент

 

 

Учебное издание

 

ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ, КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ И

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

по курсу «Математика» для студентов-

заочников строительных специальностей экономического профиля

 

Составители: ГУРИНА Татьяна Николаевна

МОРОЗ Ольга Александровна

ЯБЛОНСКАЯ Людмила Алексеевна

Редактор

Подписано в печать

Формат 60´84 1/16. Бумага тип №2. Офсет. Печать.

Усл.печ.л. Уч.-изд.л. Тираж 100. Зак.

Издатель и полиграфическое исполнение:

Белорусская государственная политехническая академия.

Лицензия ЛВ № 1049. 220027, Минск, пр. Ф.Скорины, 65.

 

 

ã Гурина Т.Н.,

О.А. Мороз, Яблонская Л.А., составление, 2011.

Содержание

 

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Программа курса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Перечень рекомендуемой литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Контрольная работа №1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Контрольная работа №2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Контрольная работа №3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Методические указания для выполнения контрольной работы №1 . . . . .
Методические указания для выполнения контрольной работы №2 . . . . .
Методические указания для выполнения контрольной работы №3 . . . . .

 

Введение

 

Общий курс математики является фундаментом математического образования специалиста, в рамках которого проводится ориентирование на приложение математических методов в профессиональной деятельности.

Цель преподавания математики состоит в том, чтобы ознакомить студентов с основами математического аппарата, необходимого для решения как теоретических, так и практических задач; развить логическое мышление и повысить общий уровень математической культуры; выработать навыки математического исследования прикладных задач и умение сформулировать задачи по специальности на математическом языке.

Основным методом изучения курса математики для студентов заочной формы обучения является самостоятельная работа над учебниками и рекомендованной литературой. В процессе изучения студент должен выполнить ряд контрольных работ, главная цель которых – оказать помощь студенту в его работе. Рецензии на контрольные задания позволяют студенту судить о степени усвоения им соответствующего раздела курса, указывают на имеющиеся у него проблемы, на желательное направление дальнейшей работы.

При выполнении контрольных работ необходимо строго придерживаться указанных ниже правил.

1. Каждая работа должна быть выполнена в отдельной тетради в клетку чернилами любого цвета, кроме красного и зеленого. Необходимо оставлять поля шириной 4-5 см. для замечаний рецензента.

2. В заголовке на обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, учебный номер (шифр), название дисциплины, номер контрольной работы; здесь же следует указать название учебного заведения, дату отсылки работы в институт и адрес студента. В конце работы следует поставить дату ее выполнения и подпись студента.

3. Решение задач надо располагать в порядке возрастания их номеров, указанных в заданиях.

4. Перед решением каждой задачи надо полностью написать ее условие.

5. Решение задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.

6. После полученной прорецензированной контрольной работы, как недопущенной, так и допущенной к собеседованию, студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты и выполнить все рекомендации рецензента.

ПРОГРАММА КУРСА

 

Раздел 1. Элементы линейной и векторной алгебры

1. Матрицы (основные понятия). Линейные операции над матрицами, их свойства.

2. Умножение матриц. Свойства умножения.

3. Определители 2-го и 3-го порядков. Понятие определителя n-го порядка.

4. Миноры, алгебраические дополнения. Теорема о разложении определителя по элементам ряда.

5. Свойства определителей.

6. Обратная матрица. Необходимое и достаточное условия существования обратной матрицы.

7. Системы линейных уравнений. Основные определения. Матричная запись.

8. Невырожденные системы. Формулы Крамера. Метод Гаусса.

9. Ранг матрицы. Теорема об инвариантности ранга матрицы.

10. Теорема Конекера-Капелли. Решение произвольных систем.

11. Системы однородных линейных уравнений.

12. Понятие вектора. Линейные операции над векторами.

13. Базис и координаты вектора.

14. Прямоугольная система координат. Линейные операции над векторами в линейной форме.

15. Скалярное произведение векторов; его свойства.

16. Векторное произведение векторов; его свойства.

17. Смешанное произведение векторов; его свойства.

18. Необходимое и достаточное условия компланарности векторов.

 

Раздел 2. Аналитическая геометрия

1.Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости в отрезках.

2. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.

3. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.

4. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями.

5. Канонические и параметрические уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей через две точки.

6. Сведение общего уравнения прямой в пространстве к каноническим уравнениям.

7. Способы задания прямой на плоскости: а) прямая, проходящая через точку перпендикулярно данному вектору; б) общее уравнение; в) уравнение в отрезках; г) уравнение прямой с угловым коэффициентом; д) уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении.

8. Взаимное расположение прямых на плоскости. Угол между прямыми.

9. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.

10. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между прямыми.

11. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.

12. Эллипс (определение, каноническое уравнение, исследование формы).

13. Гипербола (определение, каноническое уравнение, исследование формы).

14. Парабола (определение, каноническое уравнение, исследование формы).

15. Исследование общего уравнения линии второго порядка в случае отсутствия члена с произведением текущих координат.

16. Поверхности второго порядка.

 

Раздел 3. Введение в математический анализ

 

1. Числовая последовательность и ее предел.

2. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.

3. Предел функции при x®a и при x®¥. Односторонние пределы.

4. Бесконечно большие и бесконечно малые функции. Связь между ними.

5. Свойства бесконечно малых функций.

6. Теорема о разложении функции, имеющей предел, на постоянную и бесконечно малую функцию.

7. Теорема об единственности предела функции. Предел суммы, произведения и частного функций.

8. Первый замечательный предел.

9. Второй замечательный предел.

10. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые.

11. Теоремы об эквивалентных бесконечно малых.

12. Непрерывность функции в точке. Действия над непрерывными функциями.

13. Классификация точек разрыва.

14. Односторонняя непрерывность. Свойства непрерывных на отрезке функций.

 

Раздел 4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

 

1. Производная. Геометрический и механический смысл.

2. Теорема о непрерывности дифференцируемой функции.

3. Основные правила дифференцирования.

4. Производная сложной функции.

5. Производные основных и элементарных функций.

6. Производная функции, заданной неявно.

7. Производная функции, заданной параметрически.

8. Логарифмическое дифференцирование.

9. Производные высших порядков.

10. Дифференциал функции, его свойства, геометрический смысл.

11. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

12. Дифференциалы высших порядков.

13. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.

14. Раскрытие неопределенностей вида (правило Лопиталя).

15. Раскрытие неопределенностей других видов по правилу Лопиталя.

16. Экстремумы функции. Необходимое условие экстремума (теорема Ферма).

17. Достаточное условие возрастания (убывания) функции.

18. Достаточные условия существования экстремума.

19. Выпуклость, вогнутость графика функции; достаточные условия.

20. Точки перегиба графика функции; достаточные условия.

21. Асимптоты графика функции.

22. Общая схема исследования функции и построения графика.

23. Наименьшее и наибольшее значения непрерывной на отрезке функции.

 

 

Раздел 5. Функции нескольких переменных

 

1. Функции двух и трех переменных как функции точки.

2. Геометрическое изображение функции двух переменных с помощью поверхностей и линий уровня.

3. Предел функции. Непрерывность в точке и в области.

4. Частные производные функции нескольких переменных; геометрический смысл частных производных функции двух переменных.

5. Полный дифференциал функции нескольких переменных.

6. Частные производные высших порядков.

7. Экстремум функции двух переменных. Необходимые условия экстремума.

8. Достаточные условия экстремума функции двух переменных.

9. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой ограниченной области.

10. Условный экстремум функции двух переменных. Экономический смысл множителей Лагранжа.

 

Раздел 6. Неопределенный интеграл

 

1. Первообразная. Неопределенный интеграл.

2. Таблица основных интегралов.

3. Основные свойства неопределенного интеграла.

4. Метод замены переменной в неопределенном интеграле.

5. Метод интегрирования по частям.

6. Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен.

7. Интегрирование рациональных дробей.

8. Интегрирование иррациональных функций.

9. Интегрирование тригонометрических функций.

10. Вычисление интегралов вида , , .

11. Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции.

 

Раздел 7. Определенный интеграл

 

1. Задачи геометрического, физического и экономического содержания, приводящие к понятию определенного интеграла.

2. Определение определенного интеграла. Основные свойства.

3. Теорема об интеграле с переменным верхним пределом.

4. Формула Ньютона - Лейбница.

5. Замена переменной в определенном интеграле.

6. Интегрирование по частям при вычислении определенного интеграла.

7. Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольных координатах.

8. Вычисление площадей плоских фигур в полярных координатах.

9. Вычисление длины дуги плоской кривой.

10. Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений.

11. Объем тела вращения.

12 Применения определенного интеграла в экономике.

13. Интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

14. Интегралы от неограниченных функций.

15. Признаки сходимости несобственных интегралов.

 

Раздел 8. Дифференциальные уравнения

 

1. Обыкновенные дифференциальные уравнения (основные понятия).

2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши (формулировка).

3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

4. Дифференциальные уравнения с однородными функциями.

5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли.

6. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

7. Линейные однородные уравнения n-го порядка; свойства их решений.

8. Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения.

9. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения.

10. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

11. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

 

Раздел 9. Ряды

1. Числовой ряд. Сумма и остаток ряда.

2. Необходимый признак сходимости ряда.

3. Сравнение рядов с положительными членами.

4. Достаточные признаки сходимости Даламбера и Коши.

5. Интегральный признак Коши.

6. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

7. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

8. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости.

9. Свойства степенных рядов.

10. Ряды Тейлора и Маклорена.

11.Разложение функций sin x, cos x, e^x, ln(1±x), (1+x)^mв ряды Маклорена.

12. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях.

 

Раздел 10. Элементы теории вероятностей

1. Предмет теории вероятностей.

2. Элементы комбинаторного анализа ( перестановки, размещения, сочетания).

3. Событие. Пространство элементарных событий. Классификация событий. Алгебра событий.

3. Относительная частота события.

4. Классическое определение вероятности.

5. Геометрическое определение вероятности .

6. Определение условной вероятности. Независимость событий.

7. Вероятность произведения событий.

8. Теоремы сложения и следствия из них.

9. Формула полной вероятности.

10. Вероятность гипотез. Формулы Байеса.

11. Последовательность независимых испытаний, схема Бернулли.

12. Предельные теоремы Муавра-Лапласа и Пуассона.

13. Дискретные и непрерывные случайные величины.

14. Функция распределения и её свойства.

15. Плотность распределения непрерывной случайной величины и её свойства.

16. Числовые характеристики случайной величины (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение).

17. Закон биноминального распределения, закон Пуассона и их числовые характеристики.

19. Нормальный закон распределения.

20. Равномерное распределение.

21. Показательный закон распределения.

 

Раздел 11. Элементы математической статистики

1. Выборочный метод описания и анализа статистических данных.

2. Статистический вариационный ряд.

3. Интервальные статистические ряды.

4. Графическое представление статистических распределений выборки (полигон, гистограмма).

5. Эмпирическая функция распределения; её основные свойства.

6. Основные числовые характеристики выборки.

7. Начальные и центральные моменты k-го порядка, их использование в статистике.

8. Точечные оценки неизвестных параметров распределения.

9. Интервальные оценки параметров распределения.

10. Доверительная вероятность, доверительный интервал.

11. Статистическая гипотеза. Критерий согласия Пирсона.

13. Корреляционная зависимость.

14. Линейное уравнение регрессии; определение его параметров методом наименьших квадратов.

15. Выборочный коэффициент корреляции; его свойства. Коэффициент детерминации.

 

Перечень рекомендуемой литературы

Учебники

 

1. Белько И.В., Кузьмич К.К. Высшая математика для экономистов. Часть 1-3. – Мн.: Новое знание, 2006.

2. Белько И.В., Свирид Г.П. Теория вероятностей и математическая статистика. – Мн.: Новое знание, 2002.

3. Герасимович А.И., Рысюк Н.А. Математический анализ. Ч.1.-Мн.: Выш. школа, 1989.

4. Герасимович А.И., Кеда Н.П., Сугак М.Б. Математический анализ.Ч.2.-Мн.: Выш. школа, 1990.

5. Гурский Е.И. Основы линейной алгебры и аналитической геометрии. -Мн.: Выш. школа, 1982.

6. Красс М.С. Математика в экономике. – М.: ИД ФБК – ПРЕСС, 2005.

7. Мацкевич И.П., Свирид Г.П. Высшая математика. Теория вероятностей и математическая статистика. – Мн.: Выш. школа, 1993.

8. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. В 2 ч. -М.: Наука, 1987. Ч.1.

9. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. В 2 ч. -М.: Наука, 1987. Ч.2.

10. Письменный Д. Конспект лекций по высшей математике. 1часть.-М., Айрис Пресс,2004

11. Письменный Д. Конспект лекций по высшей математике. 2часть.-М., Айрис Пресс,2004

Задачники

12. Гурский Е.И. Руководство к решению задач по высшей математике. В 2ч. -Мн.: Выш. школа, 1989. Ч.1.

13. Гурский Е.И. Руководство к решению задач по высшей математике. В 2 ч. -Мн.: Выш. школа, 1990. Ч.2.

14. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч., ч.1. -М., Высш. школа, 1986, 1997, 1999

15. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч., Ч.2.-М., Высш. школа, 1986, 1997, 1999

16. Сухая Т.А., Бубнов В.Ф. Задачи по высшей математике. В 2 ч., ч.1-Мн.: Выш. школа, 1993.

17. Сухая Т.А., Бубнов В.Ф. Задачи по высшей математике. В 2 ч., ч.2.-Мн.: Выш. школа, 1993.

18. Индивидуальные задания по высшей математике (под ред. Рябушко А.П.). В 3 ч. -Мн.: Выш. школа, 2000.

19. Рябушко А.П. Индивидуальные задания по высшей математике. Мн.: Выш. школа, 2006

 

 

Контрольная работа №1

1. Записать уравнение линейного межотраслевого баланса в координатной форме. 2. Найти плановые объемы выпуска валовой продукции отраслей. Систему линейных… 3. Выполнить проверку результата.

Контрольная работа № 2

Задания 81-90.Производятся два вида товаров, объемы производства которых х и у, цены на эти товары и , соответственно, затраты на производство…   № задания … Задания 91-100.Найти неопределенные интегралы. В пунктах 1, 2 выполнить проверку дифференцированием.

Контрольная работа № 3

  131.. 132.. 133.. 134.. 135.. 136.. 137.. 138.. 139. . …    

Задания 181-190.

Зависимость выпуска валовой продукции (СВ Y) от стоимости основных фондов (СВ Х) 50 предприятий представлена корреляционной таблицей.

Требуется:

1. Найти уравнение прямой линии регрессии Y на Х.

2. Найти уравнение прямой линии регрессии Х на Y.

3. Построить графики полученных прямых.

4. Оценить тесноту корреляционной связи, используя выборочный коэффициент корреляции.

 

 

181.	Х Y	0,8	2,4	4,0	5,6	7,2	mi
0,7
2,1
3,5
4,9
6,3
mj

 

 

182.	Х Y	0,7	2,1	3,5	4,9	6,3	mi
0,4
1,2
2,0
2,8
3,6
mj

 

183.	Х Y	0,8	2,0	3,2	4,4	5,6	mi
0.6
1,4
2,2
3,0
3,8
mj

 

 

184.	Х Y	1,2	2,4	3,6	4,8	6,0	mi
1,8
3,6
5,4
7,2
8,0
mj

 

 

185.	Х Y	0,6	1,2	1,8	2,4	4,0	mi
1,4
2,8
4,2
5,6
7,0
mj

 

 

186.	Х Y	0,7	1,4	2,1	2,8	3,5	mi
1,6
3,2
4,8
6,4
8,0
mj

 

 

187.	Х Y	0,9	1,8	2,7	3,6	4,5	mi
1,1
2,2
3,3
4,4
5,5
mj

 

 

188.	Х Y	1,6	3,2	4,8	6,4	8,0	mi
1,2
2,4
3,6
4,8
6,0
mj

 

 

189.	Х Y	1,3	2,6	3,9	5,2	6,5	mi
1,9
3,8
5,7
7,6
9,5
mj

 

 

190.	Х Y	0,4	0,8	1,2	1,6	2,0	mi
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
mj

Методические указания для выполнения контрольной работы № 1.

Решение задания типа 1-10.

При условном делении экономики на три отрасли задана матрица коэффициентов прямых затрат и вектор конечной продукции . Требуется:

1. Записать уравнение линейного межотраслевого баланса в координатной форме.

2. Найти плановые объемы выпуска валовой продукции отраслей. Систему линейных алгебраических уравнений решить методом Гаусса. Решение системы записать в неправильных дробях.

3. Выполнить проверку результата.

4. Записать приближенный ответ с точностью до сотых.

1. Уравнение линейного межотраслевого баланса имеет вид , где вектор валового выпуска продукции, вектор конечного потребления, матрица прямых материальных затрат. Известны вектор конечного потребления и матрица прямых материальных затрат .

Подставим в уравнение Леонтьева векторы и матрицу А:

.

Используя правила умножения матриц, сложения векторов и определение равенства векторов, получаем систему уравнений:

Полученная система – это векторное уравнение линейного межотраслевого баланса в координатной форме.

Для решения этой системы приведем подобные члены:

Все уравнения умножим на 10:

2. Решим полученную систему методом Гаусса. Основная его идея состоит в том, что данная система линейных уравнений преобразуется в равносильную ей систему специального вида, где одно из уравнений содержит все неизвестные, второе – на одно неизвестное меньше, и т.д., последнее уравнение содержит лишь одно из неизвестных. Эти преобразования называют прямым ходом метода Гаусса.

Для удобства вычислений третье уравнение поставим первым, и оно будет ведущим на первом этапе вычислений:

Исключим неизвестную из второго уравнения. Для этого умножим первое уравнение на 9 и прибавим ко второму:

.

Исключим неизвестную из третьего уравнения. Для этого умножим первое уравнение на (–2) и прибавим к третьему:

Получаем систему:

Исключим неизвестную из третьего уравнения. Для этого второе уравнение разделим на 22, умножим на 12 и прибавим к третьему:

или 454х₃ = 32500 или 227х₃ = 16250.

Получаем систему:

Замечание.

Преобразования в методе Гаусса удобнее выполнять не с самой системой уравнений, а с расширенной матрицей системы, которая состоит из коэффициентов при неизвестных и столбца свободных членов:

~

 

~

 

~

 

.

Используя полученную матрицу, выпишем преобразованную систему:

Прямой ход метода Гаусса закончен. Обратный ход заключается в том, что из последнего уравнения находят неизвестную , затем из второго – , а из первого – . Выполним это:

,

=,

=.

Итак, решение системы в неправильных дробях будет иметь вид: , , . Они будут выражать плановые объемы выпуска валовой продукции отраслей.

3. Выполним проверку полученного результата. Для этого подставим эти значения в исходную систему:

 

Вычисляя, получаем верные равенства.

4. Запишем приближенный ответ с точностью до сотых: ; ; .

 

Решение задания типа 11-20. Даны векторы в некотором базисе. Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе. Систему линейных уравнений решить по формулам Крамера.

Например,

Решение. Для того, чтобы векторы образовывали базис, необходимо показать, что векторы некомпланарны, т.е. их смешанное произведение отлично от нуля.

Вычислим смешанное произведение с помощью определителя третьего порядка:

 

= = -23.

 

Поскольку = -230, то векторы образуют базис в пространстве R₃.

Следовательно, любой вектор этого пространства единственным образом можно представить в виде =, где - координаты вектора в базисе .

От векторного равенства перейдем к равенствам над соответствующими компонентами:

 

или

 

Получили систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными координаты вектора в новом базисе.

Решаем полученную систему методом Крамера, в соответствии с которым:

1) система трех линейных уравнений с тремя неизвестными имеет единственное решение, если - определитель третьего порядка, составленный из коэффициентов системы, не равен 0.

 

2) неизвестные находим по формулам Крамера

,

где - определители третьего порядка, составленные из определителя системы заменой коэффициентов, стоящих в системе перед , свободными членами соответственно:

 

 

 

 

Тогда по формулам Крамера:

 

 

Проверка.

Получили тождества. Следовательно, система решена верно.

Ответ: 1) векторы образуют базис, 2) вектор в базисе имеет следующее разложение:

=.

 

Решение типового задания 21-30.

Даны координаты вершин пирамиды , , , . Найти: 1). площадь грани ; 2). объем пирамиды; 3). уравнения прямой ; 4). уравнение плоскости ; 5). уравнения высоты , опущенной из вершины на грань ; 6). длину высоты ; 7). координаты точки пересечения высоты с плоскостью .

Например, A₁(3;5;4), A₂(6;9;4), A₃(0;7;2), A₄(2;3;7).

1) Для нахождения площади грани воспользуемся геометрическим смыслом модуля векторного произведения , равного площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах.

Найдем векторное произведение

 

 

 

Тогда искомая площадь грани равна:

 

=(ед²).

 

2) Объем пирамиды найдем, используя геометрический смысл модуля смешанного произведения , равного объему параллелепипеда, построенного на векторах как на ребрах.

Вычислим смешанное произведение векторов :

 

=== 38.

 

Так как объем пирамиды составляет шестую часть объема соответствующего параллелепипеда, то

 

V_пир = = (ед³).

 

3) Чтобы найти уравнения прямой , используем уравнения прямой в пространстве, проходящей через две известные точки и .

 

Уравнения прямой принимают вид:

 

или .

 

4) Для получения уравнения грани используем уравнение плоскости, проходящей через три данные точки : .

В нашей задаче: .

 

Определитель вычислим методом разложения по элементам первой строки.

, раскрыв скобки, и приведя подобные, получаем – 8x + 6y + 18z – 78 = 0, сократив на (–2), искомое уравнение будет иметь вид 4x – 3y – 9z + 39 = 0.

 

5) Чтобы найти уравнения высоты, опущенной из вершины А₄ на грань , используем канонические уравнения прямой в пространстве, проходящей через известную точку А₄ с направляющим вектором

 

.

 

Так как высота перпендикулярна грани , то в качестве направляющего вектора можно использовать нормальный вектор плоскости , координатами которого являются коэффициенты при в полученном уравнении грани : .

Итак, уравнения высоты примут вид:

 

 

.

 

6) Для вычисления длины высоты примем формулу расстояния от точки до плоскости .

 

,

 

где – коэффициенты и свободный член из уравнения плоскости .

Таким образом,

 

.

Координаты точки пересечения высоты с плоскостью получаются как результат решения системы, составленной из уравнения грани и уравнений высоты .

Запишем уравнения высоты в параметрической форме:

 

,

 

где t – параметр, тогда . Решая систему,

найдем значение параметра t. Подставляя выражения в первое уравнение, получим

 

.

 

Искомые координаты точки пересечения:

 

; ; .

 

Решение задания типа 31-40 со следующим условием:

Известны уравнения двух сторон ромба и и уравнение одной из его диагоналей . Найти уравнение второй диагонали. Сделать чертеж.

 

Решение.

Пусть - уравнение стороны АВ. Так как прямые и имеют одинаковые нормальные векторы , следовательно, они параллельны. Поэтому - уравнение противоположной стороны DC. Одна из диагоналей, например, АС имеет уравнение . Вершина ромба A является точкой пересечения прямых АВ и АС, следовательно ее можно найти, решив систему уравнений:

, откуда А(3;1).

Вершину ромба С получим решением системы, составленной из уравнения прямых DC и АС:

, откуда С(12;-2).

Точка О пересечения диагоналей является серединой отрезка АС, поэтому ее координаты можно найти по формулам:

. Таким образом .

Так как диагонали ромба перпендикулярны, то угловой коэффициент искомой диагонали . Угловой коэффициент прямой АС , найдем из ее уравнения:, откуда . Следовательно, .

Уравнение диагонали BD найдем, зная угловой коэффициент и точку , лежащую на ней: , т.е. или .

 

Ответ: .

 

Выполним чертеж:

 

Решения заданий типа 41-50.

При вычислении пределов используются следующие свойства пределов: , где , т.е. предел постоянной равен самой постоянной.  

Решения заданий типа 51-60.

Дифференцированием функции называют нахождение ее производной , которое выполняется с помощью правил дифференцирования и таблицы производных… Правила дифференцирования 10. , где с – постоянная;

Решение задания типа 61-70.

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график.

Решение. Исследование функций и построение их графиков проводится по следующей схеме:

1) найти область определения функции ; исследовать функцию на четность и нечетность;

2) исследовать функцию на непрерывность; найти точки разрыва (если они существуют) и установить характер разрыва;

3) найти асимптоты графика функции;

4) найти интервалы возрастания и убывания функции и ее экстремумы;

5) найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба;

6) найти точки пересечения графика функции с осями координат;

7) построить график функции.

 

1) Область определения функции: =. Проверим функцию на четность, нечетность: = . Значит функция ни четная, ни нечетная.

2) Точка разрыва х = 2, причем , , следовательно, х = 2 является вертикальной асимптотой графика функции.

3) Найдем наклонные асимптоты , для этого вычислим =;

=.

Таким образом, прямая является наклонной асимптотой графика функции.

4) Интервалы возрастания, убывания и экстремумы определим по следующей схеме:

а) находим первую производную ;

б) находим критические точки, т.е. точки, в которых =0 или не существует;

в) область определения разбиваем критическими точками на конечное число интервалов монотонности, в каждом из которых имеет строго определенный знак;

г) в соответствии с достаточными условиями определяем интервалы возрастания, убывания функции и ее экстремумы.

Итак,

а) =

=.

б) критические точки находим из уравнения . Отсюда , следовательно,

в) область определения разбиваем критическими точками на интервалы монотонности следующим образом:

 

 

г) вычисляем экстремумы функции:

;

.

 

5) Найдем интервалы выпуклости, вогнутости кривой и ее точки перегиба. Вычислим :

==

==

=;

Найдем точки, в которых =0 или не существует:

=- нет решений, не существует, если, откуда .

Находим интервалы знакопостоянства для :

 

 

Так как не входит в , то точек перегиба графика нет.

 

6) Найдем точки пересечения графика с осями координат: если , то , если , то или и . Следовательно, график проходит через точки .

 

7) Используя полученные результаты исследования, строим график функции.

 

Методические указания для выполнения контрольной работы № 2.

Решение заданий типа 71-80.Даны функция трех переменных , точка и вектор . Найти: 1) градиент функции в точке ; 2) производную функции в точке по направлению вектора .

Например, , , .

Решение. 1) Градиент функции в точке это вектор, равный:

, где значения частных производных функции по переменным x,y,z, соответственно, в точке М₀.

Найдем частные производные функции . Частная производная по переменной х является обыкновенной производной функции одной переменной х при фиксированном значении переменных у и z и обозначается . Т.о. =.

При вычислении (частной производной по переменной у) переменные х и z считают постоянными. Тогда

 

===.

 

При вычислении (частной производной по переменной z) переменные х и y считают постоянными. Тогда

 

=

==.

 

Вычислим значения частных производных в точке :

=; =; =.

Тогда .

2) Производная функции в точке по направлению вектора вычисляется по формуле

=,

где =3, , вычислены в предыдущем задании этой задачи, а направляющие косинусы вектора , которые вычисляются по формулам , , . Для вектора они равны ; ; . Тогда производная функции по направлению вектора в точке равна

.

 

Решения заданий типа 81-90.Производятся два вида товаров, объемы производства которых х и у, цены на эти товары и , соответственно, затраты на производство задаются функцией издержек . Определить при каких объемах производства данных товаров прибыль будет максимальной; найти ее максимальное значение.

Например, =8 (у.е.), =10 (у.е.), =(у.е.).

Решение. Так как товары производятся в объемах х и у, то функция прибыли будет иметь вид =или =. Требуется найти значения переменных х и у, при которых эта функция примет максимальное значение, при условии, что . Т.е. надо найти максимум функции двух переменных .

Для этого найдем точки возможного экстремума этой функции, т.е. точки в которых . В нашей задаче ; , поэтому система имеет вид:. Решая ее, находим , т.е. точка является точкой возможного экстремума. Если в точке определитель и < 0, то точка является точкой локального максимума функции . Здесь , , значения частных производных второго порядка функции в точке .

Вычислим эти частные производные: =; =; . Тогда и =, значит точка является точкой экстремума функции прибыли . Это означает, что, если объемы производства товаров первого и второго видов будут равны 2 и 4, соответственно, то прибыль будет максимальной и ее значение будет равно (у.е.).

 

Решения заданий типа 91-100.

Нахождение неопределенного интеграла от функции – это определение множества функций , где – первообразная, т.е. ; с – произвольная постоянная. Таким образом, .

Решения заданий типа 91-100.

Решение. ==. Найдем каждый интеграл отдельно.

Решение заданий типа 101-110.

Если функция непрерывна на отрезке и - какая-либо первообразная этой функции, то для вычисления определенного интеграла справедлива формула…   ==- (1)

Решение задания типа 101-105.

Сменная производительность труда рабочего описывается функцией ,

=,

где t – время в часах, . Определить объем выпуска продукции в течение 22-х рабочих дней бригадой, состоящей из 10 человек.

Решение. Воспользуемся формулой (2). Тогда количество продукции q, произведенной одним рабочим за 7 часов, равно

==

=108,6 (усл.ед.)

Объем продукции, выпущенной в течении 22-х рабочих дней бригадой из 10 человек, составит

(усл.ед.)

Ответ: 23892 (у.е.)

Решение задания типа 106-110.

Известно, что спрос на некоторый товар описывается функцией , а предложение данного товара характеризуется функцией . Найти величину излишка потребителя при покупке данного товара.

Решение. Для расчета излишка потребителя сначала определим параметры рыночного равновесия . Для этого решим систему уравнений

Разделим второе уравнение на первое

.

Запишем формулу для вычисления потребительского излишка (3), где функция, обратная функции , т.е.

.

Тогда

==

=.

Ответ 1000 (у.е.)

Решение заданий типа 111-120.

Дифференциальным уравнением I-го порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию и ее производную , т.е.… или . Общим решением дифференциального уравнения называется такая функция , , определенная и непрерывно дифференцируемая в…

Решение заданий типа 121-130.

Линейным неоднородным дифференциальным уравнением II-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида: , где p и q – некоторые… Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения II-го порядка . Решение. Общее решение исходного уравнения имеет вид . Запишем соответствующее однородное уравнение и составим для…

Методические указания для выполнения контрольной работы № 3.

Решение заданий типа 131-140.

Решение. Данный числовой ряд является знакоположительным рядом, следовательно, для его исследования на сходимость можно применить радикальный… ==== ===. Очевидно, что , следовательно, данный ряд является сходящимся.

Решение заданий типа 141-150.

Решение. Данный ряд является обобщенным степенным рядом вида , где коэффициент , . Областью сходимости степенного ряда с точностью до границ, является интервал с… , тогда .

Решение задания типа 151-160.

Производится залп из трех орудий. Вероятность попадания в цель первым орудием равна 0,9, вторым – 0,85, третьим – 0,95. Какова вероятность 1) хотя бы одного попадания в цель; 2) ровно двух попаданий.

Решение. Обозначим события . Из условия задачи вероятности этих событий равны . Соответственно, вероятности противоположных событий равны ; ; .

1) Требуется найти вероятность события . Противоположное событие .

Так как события независимы, то применима теорема умножения вероятностей: .

Известно, что . Отсюда .

2). Событие в алгебре событий с помощью событий можно записать как . Так как события и независимы и несовместны, то по теоремам сложения и умножения вероятностей получим

==

.

Решение задания типа 161-170.

В продажу поступило 40% телевизоров с первого завода, 50% - со второго, 10% - с третьего. Вероятность того, что телевизор, изготовленный на первом заводе, имеет дефект, равна 0,1. Для телевизоров, изготовленных на втором и третьем заводах, эти вероятности соответственно равны 0,15 и 0,2. 1) Какова вероятность приобрести исправный телевизор? 2) Приобретен исправный телевизор. Найти вероятность того, что он поступил с первого завода.

Решение.

1). Пусть событие . Это событие может произойти с одной из следующих гипотез: , ,

.

Из условия задачи вероятности гипотез равны:

; ; .

При этом должно выполняться равенство , что действительно так: 0,4+0,5+0,1=1.

Вычислим условные вероятности

.

Аналогично и .

Вероятность того, что наудачу купленный телевизор без дефекта, по формуле полной вероятности равна =++=

=.

2) Пересчитаем вероятность гипотезы , если известно, что событие произошло, т.е. найдем условную вероятность .

По формуле Байеса =.

Решения заданий типа 171-180.

Найти: 1) коэффициент А; 2) плотность распределения вероятностей ;

Задание задания типа 181-190.

Зависимость выпуска валовой продукции (с.в. Y) от стоимости основных фондов (с.в. Х) 50 предприятий представлена корреляционной таблицей

 

X Y	0,3	0,9	1,5	2,1	2,7	mi
0,6
1,8
3,0
4,2
5,4
mj						n = 50

 

В первом столбце таблицы указаны наблюдаемые значения с.в. Х (x_i), в последнем столбце – соответствующие частоты наблюдаемых значений (m_i). В первой строке таблицы указаны наблюдаемые значения с.в. Y (y_j), в последней строке – соответствующие частоты (m_j) появление этих значений. На пересечении строк и столбцов таблицы указаны частоты (m_ij) появления пары (x_i,y_j).

Требуется:

1. Найти уравнение прямой линии регрессии Y на Х.

2. Найти уравнение прямой линии регрессии Х на Y.

3. Построить графики полученных прямых.

4. Оценить тесноту корреляционной связи, используя выборочный коэффициент корреляции.

Решение.

1. Эмпирическую линейную функцию регрессии Y на Х ищем в виде

Используя метод наименьших квадратов, получим расчетные формулы для определения неизвестных параметров а и b, а именно, систему двух уравнений с двумя неизвестными:

где выборочные средние и вычисляются по формулам:

, , , .

В нашем случае

5,7528

Подставив данные значения в систему уравнений, получим

Решая систему, получим оценки параметров и

Окончательный вид уравнения регрессии Y на Х: .

2. Уравнение прямой линии регрессии Х на Y ищем в виде , где числовые параметры с и d найдем из системы

.

Выборочное среднее вычислим по формуле =, а именно

=

Подставив значения и в систему, получим:

Откуда и .

Окончательный вид уравнения регрессии Х на Y: .

3. Построим графики найденных прямых регрессий.

 

 

4. Определим выборочный коэффициент корреляции по формуле

,

где выборочные средние квадратические отклонения и вычисляются по формулам =, =.

В нашем случае =, =. Тогда .

На практике теснота корреляционной связи оценивается по значению коэффициента следующим образом:

пренебрежимо малая;

слабая;

существенная;

большая;

очень большая, близкая к функциональной.

Так как в нашем случае =, то теснота связи между случайными величинами Х и Y большая.