Решение заданий типа 121-130.

Теоретический справочник.

Линейным неоднородным дифференциальным уравнением II-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида: , где p и q – некоторые числа, – заданная функция. Общее решение данного уравнения представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения данного неоднородного уравнения.

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения II-го порядка .

Решение. Общее решение исходного уравнения имеет вид . Запишем соответствующее однородное уравнение и составим для него характеристическое уравнение: для этого заменим на ; на , у на . Получим квадратное уравнение с корнями

Т.к. корни характеристического уравнения действительные и различные, то общее решение однородного уравнения будет или для нашего примера , где и – произвольные постоянные.

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в том же виде, какова правая часть, но с неопределенными коэффициентами, и с учетом кратности корней характеристического уравнения, а именно, . В нашем случае является однократным корнем характеристического уравнения, поэтому . Таким образом, .

Определим неизвестные коэффициенты А и В. Для этого найдем и :

==.

=, и подставим значения , и в исходное уравнение: = =. Сократим обе части равенства на и приведем подобные слагаемые: . Сравним коэффициенты при одинаковых степенях х:

при х : 12А = 12

при .

Получим систему уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов А и В:

Откуда

Итак, или Окончательно, общее решение уравнения имеет вид .

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения II-го порядка .

Решение. Общее решение исходного уравнения имеет вид . Запишем соответствующее однородное уравнение . Составим характеристическое уравнение . Его корни . Т.к. корни характеристического уравнения действительные и кратные, то общее решение однородного уравнения будет или в нашем случае

, где и произвольные постоянные.

Частное решение будем искать в том же виде, какова правая часть , но с неопределенными коэффициентами : .

Найдем и :

== =.

==

=.

Подставим , и в исходное уравнение и, приведя подобные слагаемые, получим:

.

Сравним коэффициенты при и :

.

Сравним коэффициенты при одинаковых степенях переменной х; получим систему

.

Следовательно, .

Тогда =.

Окончательно, общее решение уравнения примет вид

.