Теоретический справочник
При вычислении пределов используются следующие свойства пределов:
, где , т.е. предел постоянной равен самой постоянной.
, то
а) ;
б) ;
в) , если .
Из свойств 10 и следует, что
, где , т.е. постоянную можно выносить за знак предела.
Если , то .
Если , то .
.
Для всех элементарных функций в любой точке их области определения имеет место равенство: , т.е. предел функции находят непосредственной подстановкой предельного значения аргумента.
Из свойства следует, что предел суммы, произведения, частного двух функций равен, соответственно, сумме, произведению и частному пределов этих функций, если функции имеют конечные пределы (в случае частного предел знаменателя не равен нулю). Если , то приводит к неопределенности типа ; если , то приводит к неопределенности типа ; если , то приводит к неопределенности типа . Чтобы вычислить такие пределы, т.е. «раскрыть неопределенность», необходимо провести дополнительные преобразования.
Пример 1. Вычислить предел .
Числитель и знаменатель дроби являются многочленами и при стремятся к бесконечности и, следовательно, имеем неопределенность . Для раскрытия такой неопределенности вынесем в числителе и знаменателе .
==
==
=.
Рассмотрим случай, когда многочлен, стоящий в числителе имеет меньшую степень по сравнению с многочленом, стоящим в знаменателе:
= .
Рассмотрим случай, когда многочлен, стоящий в числителе имеет большую степень по сравнению с многочленом, стоящим в знаменателе:
=.
Пример 2. Вычислить .
Определим, имеет ли место неопределенность. Для этого в выражение, стоящее под пределом подставим . Т.о. имеем неопределенность. Разложим на множители числитель:
= , знаменатель: и подставим это в предел =
==.
Пример 3. Вычислить .
=. Домножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное числителю: .
=.
Если при раскрытии неопределенности , дробь содержит тригонометрические функции, то в этом случае используют первый замечательный предел: .
Пример 4. Вычислить .
=. Преобразуем выражение
=. Отдельно вычислим: =
==. Аналогично, ==
===. .
Следовательно, ==.
Пример 5.
==
===
=.
При раскрытии неопределенности используют второй замечательный предел: или .
Пример 6. Вычислить .
Вычислим отдельно предел основания ==
==и предел показателя , получаем неопределенность .
Преобразуем выражение в скобках к виду
, т.е. . Из второго замечательного предела следует, что , поэтому преобразуем показатель степени так, чтобы он содержал сомножитель Таким образом =. Тогда == =
===.
Пример 7. Вычислить .
Выражение в скобках запишем в виде т.е.
. Следовательно, показатель степени должен содержать сомножитель :
==
==.
Для раскрытия неопределенностей типа или удобно использовать правило Лопиталя-Бернулли: , т.е. предел отношения функций в случае неопределенности или равен пределу отношения производных этих функций.
Для применения правила Лопиталя-Бернулли необходимо научиться вычислять производные функций.
Пример 8. Вычислить .
=
.
Правило Лопиталя-Бернулли при вычислении предела можно применять несколько раз.
Пример 9. Вычислить .
==
==.