Теоретический справочник
Дифференцированием функции называют нахождение ее производной , которое выполняется с помощью правил дифференцирования и таблицы производных основных элементарных функций.
Правила дифференцирования
10. , где с – постоянная;
20. ;
Если – некоторые дифференцируемые функции, то:
30. ;
40. ;
50. ;
60. ;
70. Если сложная функция, то: или .
Таблица производных основных элементарных функций
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13. .
Пример 1. Найти производную функции .
Решение. Заменяя корни степенями с дробными показателями, получаем . По правилу дифференцирования дроби (60) и суммы (30) имеем
====
======
==.
Пример 2. Найти производную функции .
Решение. По правилу дифференцирования дроби (60), используя табличные формулы (6,7) и применяя правило дифференцирования сложной функции (70), получим
===
===
=====
==.
Пример 3. Найти производную функции .
Решение. Используя правило дифференцирования произведения (40), правило дифференцирования сложной функции (70) и табличные формулы (1, 12), получим
=
==
===
=.
Пример 4. Найти производную функции
Решение. В этом примере функция задана параметрическими уравнениями , причем функции и дифференцируемы и , тогда по правилу дифференцирования функции, заданной параметрически имеем или. Следовательно, нужно найти производные от х и у по параметру t:
==
==;
.
Отсюда =;
Ответ: