Решения заданий типа 51-60.

Теоретический справочник

Дифференцированием функции называют нахождение ее производной , которое выполняется с помощью правил дифференцирования и таблицы производных основных элементарных функций.

Правила дифференцирования

10. , где с – постоянная;

20. ;

Если – некоторые дифференцируемые функции, то:

30. ;

40. ;

50. ;

60. ;

70. Если сложная функция, то: или .

 

Таблица производных основных элементарных функций

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13. .

Пример 1. Найти производную функции .

Решение. Заменяя корни степенями с дробными показателями, получаем . По правилу дифференцирования дроби (60) и суммы (30) имеем

====

======

==.

 

Пример 2. Найти производную функции .

Решение. По правилу дифференцирования дроби (60), используя табличные формулы (6,7) и применяя правило дифференцирования сложной функции (70), получим

===

===

=====

==.

 

Пример 3. Найти производную функции .

Решение. Используя правило дифференцирования произведения (40), правило дифференцирования сложной функции (70) и табличные формулы (1, 12), получим

=

==

===

=.

 

Пример 4. Найти производную функции

Решение. В этом примере функция задана параметрическими уравнениями , причем функции и дифференцируемы и , тогда по правилу дифференцирования функции, заданной параметрически имеем или. Следовательно, нужно найти производные от х и у по параметру t:

==

==;

.

Отсюда =;

Ответ: