Решения заданий типа 91-100.
Пример 1. Найти неопределенный интеграл 
. Результат проверить дифференцированием.
Решение.
=
=
.
Найдем каждый интеграл отдельно.
=
=
=
=
=
=
=
.
Найдем второй интеграл.
=
=
=
=
=
=
.
Итак, 
=
=
.
Проверка результата дифференцированием:
. Верно.
Пример 2. Найти неопределенный интеграл 
. Результат проверить дифференцированием.
Решение.
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
.
Найдем 
с помощью формулы интегрирования по частям:
,
где функции 
и 
выберем таким образом, чтобы интеграл 
получился табличный.
=
=
=
=
=
.
Окончательно, 
=
.
Проверка результата дифференцированием:
=
=
=
=
. Верно.
Пример 3. Найти интеграл 
.
Решение.
==
Подынтегральная функция 
является правильной дробью, т.к. степень числителя строго меньше степени знаменателя. Разложим знаменатель на простейшие множители, решив кубическое уравнение 
. Подстановкой убеждаемся, что х = 1 – корень данного уравнения. Разделим многочлен 
на х – 1: 
.
Решая квадратное уравнение 
, находим его корни 
и 
Тогда 
, а =
.
Запишем подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей с неизвестными коэффициентами А, В, С:
=
Правую часть приведем к общему знаменателю и сравним числители обеих частей:
.
Придавая переменной х произвольные значения, получим значения коэффициентов А, В, С:
при 
при 
при 
.
Таким образом, исходная подынтегральная дробь разложится на сумму:
=
.
Возвратимся к интегралу:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
.
Пример 4. Найти интеграл 
.
Решение. Подынтегральная функция является правильной дробью. Разложим ее знаменатель на простейшие множители, используя формулу разности квадратов:
.
Тогда подынтегральная функция разложится на сумму простейших дробей с неизвестными коэффициентами А, В, С, D:
.
Правую часть приведем к общему знаменателю и приравняем числители:
Придавая переменной х произвольные значения, получим значения коэффициентов А, В, С, D:
при 
при 
при 
при 
.
Итак, получим разложение
.
Тогда интеграл примет вид
==
=
=
=
=
=
=
=
.
Пример 5. Найти интеграл 
.
Интегралы от иррациональных функций находятся с помощью подстановок, позволяющих избавиться от иррациональности.
=
=
==
=
=
=
=
=
=
=
==
=
=
=
=
=
.
Пример 6. Найти интеграл 
.
Если подынтегральная функция является дробно-рациональной от функций 
и 
, то применяют подстановку
, откуда =
, =
, 
.
=
=
=
=
=
==
=
=
=
=
=
=
=
.
Пример 7. Найти интеграл 
.
Выделим у функции в нечетной степени в качестве множителя первую степень и внесем полученную функцию под знак дифференциала.
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
.