Проецирование точки на три взаимно- перпендикулярные плоскости. Законы проекционной связи.

Комплексный чертеж, который выполняется на двух плоскостях проекций, определяют и форму и размеры оригинала и его положение в пространстве. Такие чертежи являются метрически определенными (полными). Но часто изображения фигур выполняют на трех плоскостях проекций. Вследствие трехмерности пространственной фигуры ее комплексный чертеж становится более ясным, когда, кроме двух основных проекций, будем иметь еще одну, полученную на третьей плоскости проекций. За такую плоскость проекций принимают плоскость, перпендикулярную одновременно и к горизонтальной П₁ и к фронтальной П₂ плоскости проекций. Эту плоскость называют профильной плоскостью проекции и обозначают П₃.

На рис.1.16 изображена пространственная модель трех взаимно перпендикулярных плоскостей проекций П₁, П₂ и П₃ (соответственно - горизонтальная, фронтальная и профильная). При пересечении этих плоскостей проекций образуются три взаимно перпендикулярных оси проекций - , , , и начало координат - точка .

Рис.1.16.

Проецирование точки на три взаимно - перпендикулярные плоскости проекций П₁, П₂ и П₃ показано на геометрической модели (рис.1.17).

Для получения комплексного чертежа точки необходимо (рис.1.17) мысленно "изъять" из модели все элементы, которые в процессе проецирования появились в пространстве, и оставить только те, которые принадлежат плоскостям проекций, освободившись при этом от связи между плоскостями проекций П₁ и П₃ по оси .

Рис.1.17. Проецирование точки на три
взаимно перпендикулярные плоскости проекций

Для этого ось мысленно «разрезали» на две части вдоль оси и отнесли к П₁, а - к П₃. Вследствие этого горизонтальная плоскость проекций П₁ получила возможность вращаться (по стрелочке на рис.1.17) вокруг оси , а профильная плоскость проекций П₃ - вокруг оси (по стрелочке на рис.1.17). Поворот плоскостей проекций П₁ и П₃ вместе со всеми изображениями, которые были получены на них, должен осуществляться до окончательного их совпадения с фронтальной плоскостью проекций П₂ (рис.1.18), которую при этом считают недвижимой. При совмещении плоскостей проекций ломанные линии проекционные связи превращаются в одну прямую линию, которая должна быть перпендикулярной к соответствующей оси проекций.

Чертеж, который показан на рис.1.18 называется - комплексный чертеж точки на три плоскости проекции, или эпюр Монжа.

А1 - горизонтальная проекция точки А А2 - фронтальная проекция точки А А3 - профильная проекция точки А А1А2 - вертикальная линия связи А2А3 - горизонтальная линия связи А1FА3 - ломаная, горизонтально-вертикальная линия связи
Рис.1.18. Проецирование точки на три плоскости проекций

Из рис.1.18 вытекают три закона проекционной связи.

1) Горизонтальная и фронтальная проекции точки всегда находятся на одной линии проекционной связи, которая перпендикулярная оси : .

2) Фронтальная и профильная проекции точки всегда находятся на одной линии проекционной связи, которая перпендикулярная оси : .

3) Расстояние от горизонтальной проекции точки до оси () равняется расстоянию от профильной проекции точки до оси (): .

Для всестороннего анализа полученных результатов обратим внимание еще на одно важное свойство комплексного чертежа. Рассматривая рис.1.17 замечаем, что:

ü расстояние от любой точки до профильной плоскости проекций П₃ всегда будет равняться отрезку [], т.е.

[] = [] = [] = расстояние от точки до профильной плоскости проекций (ширина);

ü расстояние от той же точки до фронтальной плоскости проекций П₂ будет равняться отрезку []:

[] = [] = [] = [] = - расстояние от точки до фронтальной плоскости проекций (глубина);

ü расстояние от точки до горизонтальной плоскости проекций П₁ будет равнять отрезку []:

[] = [] = [] = - расстояние от точки до горизонтальной плоскости проекций (высота).

Таким образом, любая точка пространства может быть однозначно заданная тремя числами - или сокращенно ().

Если каждую из плоскостей проекций рассматривать как бесконечную, то вследствие их пересечения вытекает, что все пространство разделено на восемь частей (октантов). Линии пересечения плоскостей проекций образуют декартовую координатную систему, а точка пересечения осей проекций - начало координат (точка 0). Нумерация октантов обозначена на рис.1.16. В таблице 1 соответствующие знаки при числах , которые однозначно определяют, к какой части пространства принадлежит рассматриваемый объект.

Таблица 1.

Знаки координат в октантах