Геометричні побудови.

1. Ділення відрізку навпіл. З кінців відрізка AB радіусом R, більшим ніж половина відрізку, проводять дві дуги до їх перетину у точках М і N (рис. 3.1). Пряма, що проходить через точки M і N, ділить заданий відрізок в точці З навпіл і є перпендикулярною йому.

Рис. 3.1

2. Ділення кута на дві рівні частини. З вершини кута довільним радіусом проводять дугу до перетину сторін кута в точках M і N. З отриманих точок проводять дві дуги радіусом R, більшим ніж половина дуги MN, до їх перетину в точці L. Вершину кута сполучають з точкою L прямої, яка ділить даний кут навпіл (рис. 3.2).

Рис. 3.2

 

2. Побудова перпендикулярних ліній.

2.1. Це завдання може бути виконано за допомогою трикутника і лінійки. До прямої прикладають катет трикутника, а до гіпотенузи лінійку (рис. 3.3.а). Лівою рукою притримують лінійку, а правою переміщають трикутник уздовж лінійки до збігу його іншого катету з точкою, після чого проводять пряму, перпендикулярну заданій прямій (рис. 3.3.б).

 

Рис. 3.3.а	Рис. 3.3.б

2.2. Побудова перпендикулярної лінії за допомогою циркуля і лінійки.

З точки A довільним радіусом R проводять дугу, що перетинає задану пряму у точках O₁ і O₂ (рис. 3.4.а). З отриманих точок проводять однакові дуги радіусом, більшим ніж половина відрізку О₁О₂ до їх взаємного перетину у точці D. Пряма, проведена через точки А і D, перпендикулярна до заданої (рис. 3.4.б).

Рис. 3.4.а	Рис. 3.4.б

3. Побудова паралельних ліній.

3.1. Побудова паралельних ліній за допомогою лінійки та трикутника. До прямої прикладають трикутник гіпотенузою, а до його катета – лінійку (рис. 3.5.а). Притримуючи лінійку лівою рукою, правою трикутник пересувають до збігу його гіпотенузи з точкою A (рис. 3.5.б), і через неї проводять пряму, паралельну заданій.

Рис. 3.5.а	Рис. 3.5.б

3.2. Побудова паралельних ліній за допомогою циркуля та лінійки. Припустимо, що треба провести через точку A пряму, паралельну прямій f. З точки A проводять коло радіусом R, що перетинає пряму f в точках В і С. Від однієї з них, наприклад, точки C, на прямій f відкладають у будь-який бік відрізок, що дорівнює радіусу R, і отримують точку D (рис. 3.6.а). З точки D таким самим радіусом проводять дугу до її перетину з колом у точці E. Пряма AE буде паралельною f (рис. 3.6.б).

Рис. 3.6.а	Рис. 3.6.б

4. Ділення відрізку на довільне число частин. Для цього від кінця відрізку під гострим кутом проводять допоміжну пряму. Відкладаємо на ній однакові відрізки довільної довжини. Кількість відрізків дорівнює кількості частин, на яке ми хочемо поділити даний відрізок. На рис. 3.7.а показано ділення допоміжного відрізку, що виконується при діленні відрізку AB на п’ять частин. Для цього останню точку сполучають з кінцем відрізку B. Через точки, що залишаються, проводимо лінії, паралельні прямої B5 до перетину з відрізком AB. Точки перетину ділять відрізок AB на рівні частини (рис. 3.7.б).

Рис. 3.7.а	Рис. 3.7.б

4.1 Ділення відрізку на довільне число частин в AutoCAD. В AutoCAD можливо поділити будь який об’єкт на довільну кількість частин за допомогою команди «Поділити». Для цього після вибору команди вкажемо об’єкт яки потрібно поділити. Потім в командному рядку введемо число частин на які потрібно поділити об’єкт. Програма розмістить на об’єкті точки що ділять його на потрібну кількість частин. Для пошуку точок розподілу зручно використовувати об’єктну прив’язку «Точка».

5 Побудова дотичної до кола. Дотична до кола – пряма, що має лише одну спільну точку з колом. Радіус, що проводиться до точки дотику, розташован перпендикулярно до дотичної.

5.1. Побудова дотичної до кола, яка проходить через точку A, що належить колу. Сполучаємо центр кола і точку A прямою OA. Проводимо перпендикуляр до OA через точку A. Отримана пряма f є дотичною до даного кола у точці A (рис. 3.8).

5.2. Побудова дотичної до кола, яка проходить через точку B, що не належить колу. Сполучаємо точку B і центр кола відрізком OB. Ділимо його навпіл точкою C. З точки C, як із центру, будуємо коло радіусом CK (або CO). Точки перетину кіл D і E є точками дотику, а прямі DB і EB – дотичними до кола (рис. 3.9).

Рис. 3.8	Рис. 3.9

6. Побудова уклону.Ухилом називають величину, що характеризує нахил однієї прямої лінії до іншої. Ухил виражають дробом або у відсотках. Ухил відрізку BC відносно відрізку BA визначають відношенням катетів прямокутного трикутника ABC (рис. 3.10), тобто:

(1)

Для побудови прямої із заданою величиною ухилу, наприклад 1:4 (рис. 25), треба від точки A відкласти відрізок, що дорівнює чотирьом одиницям довжини, а перпендикулярно до нього відрізок, що дорівнює одній одиниці довжини. Точки B і C сполучаємо прямою, яка показує напрям ухилу. При кресленні контуру деталі з ухилом спочатку будується лінія ухилу, яка потім паралельно переноситься на контур.

Рис. 3.10

Якщо ухил задається у відсотках, наприклад 20%, то лінія ухилу будується так саме. Довжину одного з катетів приймають рівною 100%, а іншого 20%. Очевидно, що ухил 20% є ухилом 1:5.

7. Побудова конусності. Конусністю називають відношення діаметру основи конуса до його висоти. Якщо конус усічений з діаметрами основ D і d і висотою L, то конусність визначається за формулою:

(2)

Для побудови заданої конусності, наприклад 1:3, уздовж осьової лінії від точки A відкладають 3 одиниць довжини. На перпендикулярі до осьової лінії відкладають відрізки AC і AD, що дорівнюють половині одиниці довжини. Прямі BC і BD визначають напрям конусності.

Рис. 3.11

Якщо дана конусність, один із діаметрів та довжина конусу, то можна розрахувати розмір другого діаметру і зробити побудову контуру конічної деталі. Наприклад, дана конусність C = 1:7, більший діаметр D = 30 мм і висота конічної поверхні L = 70. Використовуємо формулу (2):

 

8. Побудова спряжень. Спряженням називається плавний перехід від однієї лінії до іншої, виконаний за допомогою проміжної дуги. Радіус цього кола – це радіус спряження, а центр має назву центру спряження. Точка, де одна лінія переходить у іншу – це точка спряження. Побудову спряжень засновано на властивостях дотичних до кривих і зводиться до визначення положення центру дуги, що сполучає, і точок спряження, тобто точок, у яких задані лінії переходять у дугу спряження. У геометричному кресленні найчастіше задають радіус дуги спряження, а інші елементи визначають у процесі побудови. Також вказують бік дотику дуги спряження. Розрізняють три види спряжень: зовнішнє, внутрішнє і змішане. При зовнішньому спряженні дуга торкається заданих об’єктів зовнішньою стороною, а при внутрішньому – внутрішньою. Дуга змішаного спряження торкається одного об’єкту зовнішньою стороною, а іншого внутрішньою.

8.1. Побудова спряження прямих а і b, що перетинаються, дугою радіусу R. На відстані R від прямих а і b проводять допоміжні прямі m і n. Точка перетину цих прямих (точка O) є центром дуги спряження. З точки O опускають перпендикуляри на прямі а і b, точки перетину яких (точки 1 і 2) є точками спряження. Сполучаємо їх дугою радіусом R з центром у точці O (рис. 3.12).

Рис. 3.12

8.2. Побудова спряження прямої і дуги.

8.2.1. Побудова спряження дуги радіусу r і прямій а дугою спряження радіусу R із зовнішнім торканням. Паралельно заданій прямій на відстані, що дорівнює радіусу R, проводять пряму m. З центру дуги у точці O проводять дугу кола n радіусом, що дорівнює сумі радіусів R і r, до перетину її з прямою m у точці O₁. Точка O₁ є центром дуги спряження (рис. 3.13.а). Точку спряження A знаходять на перетині прямої OO₁ з дугою даного кола b. Точка спряження B є основою перпендикуляра, що опускається з точки O₁ на пряму а. Для завершення побудови спряження проведемо дугу радіусом R з центром у точці O₁ від точки A до точки B (рис. 3.13.б).

Рис. 3.13.а	Рис. 3.13.б

8.2.2. Побудова спряження дуги радіусу r і прямій d дугою спряження радіусу R з внутрішнім торканням. Паралельно прямий d на відстані, що дорівнює радіусу R, проводять пряму k. З центру дуги проводять дугу кола l радіусом, що дорівнює різниці радіусів R і r, до перетину її з прямою l у точці O. Точка O є центром дуги спряження (рис. 3.14.а). Точку спряження A знаходять на перетині прямої, яка сполучає точку O з центром кола, з дугою даного кола. Точка спряження B є основою перпендикуляра, що опускається з точки O на пряму d. Для завершення побудови спряження проведемо дугу радіусом R з центром у точці O від точки A до точки B (рис. 3.14.б).

Рис. 3.14.а	Рис. 3.14.б

8.3. Побудова спряжень дуг.

8.3.1. Побудова зовнішнього спряження дуг а і b радіусом R. При зовнішньому спряженні центри дуг, що сполучаються, знаходяться поза дугою спряження. З центру однієї дуги (точка O_a) проводять допоміжне коло радіусом, що дорівнює сумі радіусів дуги R_a і дуги спряження R, а з центру O_b проводять коло радіусом, що дорівнює сумі радіусів дуги R_b і дуги спряження R. Допоміжні дуги перетинаються у точці O, яка є центром дуги спряження (рис. 3.15.а). Для знаходження точок спряження центри заданих дуг сполучають з центром дуги спряження прямими OAO і OBO. Ці дві прямі перетинають дуги, що сполучаються, у точках спряження 1 і 2. З центру O проводять дугу спряження від точки 1 до точки 2 (рис. 3.15.б).

Рис. 3.15.а	Рис. 3.15.б

8.3.2. Побудова внутрішнього спряження c і d дуг радіусом R. Центри дуг, що сполучаються, будуть усередині дуги спряження. З центру однієї дуги (точка О_с) проводять допоміжне коло радіусом, що дорівнює різниці радіусів дуги R_c і радіусу дуги спряження R, а з центру O_d радіусом, що дорівнює різниці дуги R_d і дуги спряження R. Допоміжні дуги перетинаються у точці O, яка буде центром дуги спряження(рис. 3.16.а). Для знаходження точок спряження центри заданих дуг сполучають з центром дуги спряження прямими OCO і ODO. Ці дві прямі перетинають дуги, що сполучаються, у точках спряження 1 і 2. З центру O проводять дугу спряження радіусу R від точки 1 до точки 2 (рис. 31.6.б).

Рис. 3.16.а	Рис. 3.16.б

8.3.3. Побудова змішаного спряження дуг e і f радіусом R. При змішаному спряженні центр однієї дуги, що сполучається, лежить усередині дуги спряження, а інший зовні. З центру дуги, до якої дуга спряження торкатиметься зовнішньою стороною (точка O_e), проводять допоміжне коло радіусом, що дорівнює сумі радіусів заданої дуги R_e і дуги спряження R. Водночас з центру дуги, до якої дуга спряження торкатиметься внутрішньою стороною (точка O_f), проводять допоміжне коло радіусом, що дорівнює різниці радіусів дуги сполучення R і даної дуги R_f. Точка перетину допоміжних дуг O є центром дуги спряження (рис. 3.17.а). Побудуємо прямі, що сполучають центри дуг O_e і O_f з центром дуги спряження O. Точки перетину прямих OEO і OFO з дугами кіл (точки 1 і 2), що сполучаються, є точками спряження. Побудуємо дугу спряження радіусом R з центру O від точки 1 до точки 2 (рис. 3.17.б).

Рис. 3.17.а	Рис. 3.17.б

8.4. Побудова спряжень в AutoCAD. Для виконання спряження двох відрізків використовується команда «Спряження». Спочатку роботи з командою встановлюємо параметр «Радіус». Для цього використовуємо контекстне меню або командну строку. Потім послідовно вибираємо відрізки, що спрягаються.

Зовнішнє спряження двох кіл будують так само, як і спряження двох прямих: встановлюємо значення радіуса спряження та вибираємо кола, які спрягаються.

При виконані внутрішнього та змішаного спряження потрібні допоміжні побудови. Визначимо положення центра дуги спряження з використанням методів описаних вище. З найденої точки перетину допоміжних кіл з використанням об’єктної прив’язки «Перетин» побудуємо коло радіусом рівним радіусу спряження. За допомогою команди «Розірвати» та об’єктної прив’язки «Дотична» видалимо зайву частину кола.

9. Побудова овалу. Овал – плоска опукла крива, побудована з дуг спряження різних діаметрів. Розглянемо побудову овалу за двома заданими осями AB і CD.

З точки перетину осей O радіусом OC (половина малої осі овалу) проводять дугу до перетину з великою віссю овалу AB у точці N. Точку A сполучають прямою з точкою C і на ній від точки C відкладають відрізок, що дорівнює відрізку NB. Отримаємо точку N₁ (рис. 3.18.а). З середини відрізку AN₁ відбудовують перпендикуляр до перетину з великою і малою осями овалу у точках O₁ і M₁. Відстань OO₁ відкладають по великій осі овалу від точки O вправо і отримують точку O₂. По малій осі овалу вгору від точки O відкладають відстань, що дорівнює OM₁ і знаходять точку M₂. Точки M₁ і M₂ є центрами верхньої і нижньої дуги овалу, а точки O₁ і O₂ є центрами лівої і правої дуг овалу відповідно (рис. 3.18.б). Щоб знайти точки спряження дуг вгорі на продовженні прямих M₁O₁ і M₂O₂ відкладають відрізки, що дорівнюють довжині відрізку M₁C, і отримують точки 1 і 2, а щоб визначити точки сполучення знизу, відкладають відрізок, що дорівнює M₂C, на прямих M₂O₁ і M₂O₂ і знаходять точки 3 і 4 (рис. 3.18.в). З точки O₁, як із центру, проводять дугу радіусом O₁A і сполучають точки 1, A, 3. З точки O₂ проводять дугу тим самим радіусом та сполучають точки 4, B, 2. Точки 1, C, 2 сполучають дугою радіусом M₁C із центром у точці M₁. Дугою тим самим радіусом із точки M₂ сполучають точки 3, D, 4. Отримують шуканий овал (рис. 3.18.г).

 

Рис. 3.18.а	Рис. 3.18.б
Рис. 3.18.в	Рис. 3.18.г

10. Побудова еліпсу. Еліпс – замкнута плоска крива, сума відстаней кожної точки якої до двох даних точок (фокусів), що лежать на великій осі, є величина стала і дорівнює довжині великої осі.

Звичайно еліпс будується за двома осями – великою AB і малою CD. З точки перетину осей O, як із центру, будують два кола m і n. Діаметр більшого кола m дорівнює довжині великої осі еліпса, а меншого кола n – довжині малої осі еліпса. Через центр O проводять довільну пряму k. З точки перетину прямої з меншим колом n (точка 1) будують лінію f, паралельну великій осі еліпсу. Через точку перетину прямої з більшим колом m (точка 2) проводять лінію l, паралельну малій осі еліпсу. Точка перетину прямих l і f (точка 3) належить контуру еліпса (рис. 3.19.а). Ці побудови повторюють у різних положеннях довільної прямої. Отримані точки сполучають лекалом (рис. 3.19.б).

Рис. 3.19.а	Рис. 3.19.б

10.1 Побудова еліпсу в AutoCAD. Для побудови еліпсу використовують команду «Еліпс». Спочатку указують центр еліпса. У відповідь на запит програми указують кінцеву точку одного з діаметрів еліпсу. Відстань точки від центру еліпсу рівна довжині половини діаметру. Потім указують кінець другого діаметру еліпсу.

В AutoCad також можливо побудувати еліпс по трьом точкам, які з’являються точками перетину діаметрів і дуги еліпсу.

12. Ділення кола на рівні частини.

12.1. Ділення кола на 4 і 8 рівних частин. Побудовою взаємно перпендикулярних діаметрів ділять коло на 4 рівні частині (точки 1, 2, 3, 4) (рис. 3.20). Щоб поділити коло на 8 рівних частин застосовують метод ділення кута на дві рівні частини. Для цього з суміжних точок (точки 1 і 4) проводять дві дуги радіусом R, що більше ніж половина відстані 14. Через точку перетину дуг M і центр кола O проводять пряму. Потім повторюють побудову симетричних точок. Отримують точки 5, 6, 7, 8. Точки 1...8 ділять дугу на 8 рівних частин.

Розділити коло на 8 частин можна й за допомогою лінійки і трикутника з кутами 45°. Через центр кола будують взаємно перпендикулярні діаметри, які ділять коло на 4 частини (точки 1...4). Лінійку розташовують паралельно одному з діаметрів кола. Катет трикутника прикладають до лінійки таким чином, щоб його гіпотенуза проходила через центр кола. Уздовж гіпотенузи трикутника проводять пряму. Потім повторюють побудову симетричних точок. Отримані точки перетину прямих і кола 1...8 ділять коло на 8 частин (рис. 3.21).

Рис. 3.20	Рис. 3.21

12.2. Ділення кола на 3, 6 і 12 рівних частин.

12.2.1. Ділення кола на 3 частини. Для знаходження точок, що ділять коло радіусу R на три рівні частини, досить з будь-якої точки кола, наприклад точки A, провести дугу радіусом R, що дорівнює радіусу цього кола. Перетин дуги з колом дає дві шуканих точки 2 і 3. Третя точка ділення 1 знаходитиметься на перетині діаметру кола, проведеного через точку A (рис. 3.22).

Розділити коло на 3 рівні частини можна за допомогою лінійки і трикутника з кутами 30° і 60°. Для цього будують діаметр кола і знаходять першу точку ділення кола (точка 1). Перпендикулярно побудованому діаметру розташовують лінійку. До неї прикладають трикутник катетом із кутом 30° таким чином, щоб гіпотенуза проходила через центр кола. Проводять пряму. Потім повторюють побудову симетричної точки. Точки перетину 2 і 3 прямих із колом є точками ділення (рис. 3.23).

Рис. 3.22	Рис. 3.23

12.2.2. Ділення кола на 6 частин. Щоб знайти точки ділення кола радіусом R на 6 рівних частин спочатку проводять діаметр кола. На перетині діаметру і дуги кола отримують точки 1 і 4. З кожної з них, як із центрів, проводять дві дуги радіусом R, що дорівнює радіусу кола. Отримують точки перетину дуг із колом (точки 2, 3, 5, 6). Усі знайдені точки 1…6 є точками ділення кола на 6 рівних частин (рис. 3.24).

Лінійкою і трикутником із кутом 60° можна поділити коло на 6 рівних частин таким чином. Будують діаметр кола і позначають точки перетину діаметру з дугою кола 1 і 4. Лінійку розташовують паралельно побудованому діаметру. Трикутник прикладають до лінійки катетом із кутом 60°. Гіпотенуза трикутника має проходити через центр кола. Проводять пряму уздовж гіпотенузи і на перетині прямої та кола знаходять точки 2 і 5. Трикутник повертають на 180° і повторюють побудову. Отримують точки перетину прямої з даним колом 3, 6. Точки 1...6 є точками ділення кола на 6 рівних частин (рис. 3.25).

Рис. 3.24	Рис. 3.25

12.2.3. Ділення кола на 12 рівних частин. Спочатку будують взаємно перпендикулярні діаметри, на перетині яких із заданим колом отримують точки 1, 4, 7, 10. З кожної знайденої точки, як із центрів, проводять дуги радіусом R, що дорівнює радіусу заданого кола. Отримаємо точки перетину дуг і кола 2, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 12. Усі знайдені точки 1…12 ділять це коло на 12 рівних частин (рис. 2.26).

Так само для розв’язання задачі можна використати лінійку і трикутник із кутами 30° і 60°. Проводять взаємно перпендикулярні діаметри заданого кола і позначають точки їх перетину з дугою кола 1, 4, 7, 10. Лінійку розташовують перпендикулярно одному із побудованих діаметрів. Трикутник прикладають до лінійки катетом з кутом 30°. Гіпотенуза трикутника має проходити через центр кола. Проводять пряму уздовж гіпотенузи і на перетині прямої і кола знаходять точки 5 і 11. Далі трикутник прикладають до лінійки катетом із кутом 60° таким чином, щоб гіпотенуза проходила через центр кола, і проводять пряму. Отримують точки перетину x і y прямої з даним колом. Повернемо трикутник на 180° і повторимо побудови (рис. 2.27). Усі знайдені точки перетину прямих і діаметрів із колом 1..12 ділять коло на 12 рівних частин.

Рис. 3.26	Рис. 3.27

12.3. Ділення кола на 5, 7 і 10 рівних частин.

12.3.1. Ділення кола на 7 рівних частин. З точки A радіусом R, що дорівнює радіусу даного кола, проводять дугу, яка перетинає коло у точці N. З точки N опускають перпендикуляр на горизонтальну осьову лінію, отримують точку C. Відрізок L, що дорівнює відрізку NC, є хордою, яка ділить коло на 7 рівних частин (рис. 3.28.а). З точки 1 радіусом R, що дорівнює відрізку L, послідовно циркулем виконують 7 позначок і отримують точки ділення кола на 7 рівних частин (точки 1…7) (рис. 3.28.б).

Рис. 3.28.а	Рис. 3.28.б

12.3.2. Ділення кола на 10 рівних частин. З точки A радіусом R, що дорівнює радіусу даного кола, проводять дугу, яка перетинає коло у точці N. З точки N опускають перпендикуляр на горизонтальну осьову лінію, отримують точку C. З точки C радіусом R₁, що дорівнює відстані від точки C до точки 1, проводять дугу, яка перетинає горизонтальну осьову лінію у точці M (рис. 3.29.а). Відрізок F, рівний відрізку MO, є хордою, яка ділить коло на 10 рівних частин. Точки ділення 1...10 знаходять, послідовно відкладаючи циркулем відрізки, що дорівнюють відрізку F (рис. 3.29.б).

Рис. 3.29.а	Рис. 3.29.б

12.3.3. Ділення кола на 5 рівних частин. З точки A радіусом R,що дорівнює радіусу даного кола, проводять дугу, яка перетинає коло у точці N. З точки N опускають перпендикуляр на горизонтальну осьову лінію, отримують точку C. З точки C радіусом R₁, що дорівнює відстані від точки C до точки 1, проводять дугу, яка перетинає горизонтальну осьову лінію у точці M. Відрізок K, що дорівнює відрізку M₁, є хордою, яка ділить коло на 5 рівних частин (рис. 3.30.а). З точки 1 радіусом R₂, що дорівнює відрізку K, проводять дугу, що перетинає коло у точці 2. Дуга 12 є 1/5 довжини кола. Точки 3, 4, 5 знаходять, послідовно відкладаючи циркулем відрізки, що дорівнюють K (рис. 3.30.б).

Рис. 3.30.а	Рис. 3.30.б

12.4. Ділення кола на будь-яку кількість рівних частин. Вертикальний діаметр заданого кола AB ділять на число частин, на яке необхідно розділити коло. З кінців A і B вертикального діаметру проводять дві дуги радіусом R₁, що дорівнює діаметру даного кола (рис. 3.31.а). З точок перетину дуг C і D проводять промені через парні або непарні точки ділення діаметру AB. Дальні від початку променів точки перетину цих прямих із колом будуть точками ділення кола на потрібне число частин (рис. 3.31.б).

Рис. 3.31.а	Рис. 3.31.б

12.5 Побудова правильних багатокутників в AutoCAD. Виконаємо наступну послідовність дій для побудові правильного багатокутника. Виберемо команду «Багатокутник». В командному рядку укажемо кількість сторін багатокутника. Потім визначимо центр. Задамо параметр розміщення: вписаний коло або описаний довкола кола багатокутник. Для завершення побудови фігури укажемо радіус кола.