Собственные векторы и собственные значения матрицы. Характеристическое уравнение матрицы.

Определение 1.n-мерный вектор x ¹ 0 называется собственным вектором матрицы A размера n ´ n, если существует такое число l, что A×x = l×x. Число l называется собственным значением матрицы A, соответствующим вектору x.

Можно доказать, что ненулевое решение уравнения A×x = l×x существует тогда и только тогда, когда определитель çA - l×Eç=0, где E - единичная матрица n –го порядка.

Определение 2.Характеристическим многочленом матрицы A называется определитель çA - l×Eç, который фактически является многочленом n-ой степени относительно переменной l.

Определение 3.Характеристическим уравнением матрицы A называется уравнение çA - l×Eç=0. Корни этого уравнения являются собственными значениями матрицы A.

Собственный вектор, соответствующий собственному значению l, может быть найден как решение матричного уравнения (A - l×E)×x = 0.