ЛЕКЦИЯ 5 - раздел Математика, Конспект лекций по дисциплине: Элементы высшей математики Тема 5: Предел И Непрерывность
План
1. Пре...
Тема 5: Предел и непрерывность
ПЛАН
1. Предел последовательности при n®¥.
2. Предел функции при x®¥.
3. Предел функции в точке.
4. Бесконечно малые и бесконечно большие величины.
1. Предел последовательности при n®¥
Определение 1.Последовательностью называется функция, заданная на множестве натуральных чисел, т.е. an=f(n) при nÎN.
Обозначения: {an: nÎN} или (an).
Пример 1.an=1/n. a1=1, a2=1/2, a3=1/3, a4=1/4, …, a10=1/10,…, a100=1/100,… .
Можно показать, что эта последовательность является убывающей, ограниченной снизу (например, числом 0), и её элементы приближаются к числу 0 при неограниченном возрастании n.
Пример 2.an=(2n+1)/(3n+5). a1=3/8, a2=5/11, a3=7/14, a4=9/17, …, a10=21/35,…, a100=201/305,… .
Можно показать, что эта последовательность является возрастающей, ограниченной сверху (например, числом 1), и её элементы приближаются к числу 2/3 при стремлении n к бесконечности.
Понятие предела последовательности является характеристикой поведения элементов последовательности при возрастании их номеров.
Определение 2.Число A называется пределом последовательности (an), если элементы этой последовательности an приближаются (стремятся) к числу A при возрастании их номеров n.
Обозначения: an®A при n®¥ или .
Например, , . Более строго:
Определение 2¢.Число A называется пределом последовательности (an), если для любого положительного как угодно малого числа e>0 существует номер N (зависящий от e) такой, что для всех членов последовательности с номерами n>N выполняется неравенство ½an-A½<e .
Заметим, что неравенство ½an-A½<e равносильно двойному неравенству A-e<an<A+e.
Определение 3.Последовательность (an) называется возрастающей, если для любого nÎN выполняется неравенство an<an+1 .
Определение 4.Последовательность (an) называется убывающей, если для любого nÎN выполняется неравенство an>an+1 .
Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными.
Определение 5.Последовательность (an) называется ограниченной, если существует число M>0 такое, что для любого nÎN выполняется неравенство ½an½<M.
Теорема 1.Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
Теорема 2.Пусть , и последовательность (cn) такова, что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство an £ cn £ bn. Тогда .
Замечание 1.При решении задачи на вычисление предела последовательности будем использовать не определение, а теоремы о пределах и известные пределы:
, , , .
Задача 1.Вычислить предел последовательности:
Задача 2.Вычислить предел последовательности: .
Решение.Имеет место неопределенность вида . Теоремы о пределах применить нельзя. Проведем тождественные преобразования, цель которых — получение последовательности, к которой можно применить теоремы о пределах.
Числитель и знаменатель дроби поделим на старшую степень n2. Получим .
2. Предел функции при x®¥
Определение 1.Число A называется пределом функции y=f(x) при x®+¥, если значения функции f(x) приближаются (стремятся) к числу A при неограниченном возрастании аргумента x.
Обозначения: f(x)®A при x® +¥ или . Более строго:
Определение 1¢.Число A называется пределом функции y=f(x) при x®+¥, если для любого положительного как угодно малого числа e>0 существует положительное число M>0 (зависящее от e) такое, что для всех значений аргумента xÎD(f), удовлетворяющих условию x>M, выполняется неравенство ½f(x)-A½<e .
Определение 2.Число A называется пределом функции y=f(x) при x®-¥, если значения функции f(x) приближаются (стремятся) к числу A, когда аргумент x, оставаясь отрицательным, неограниченно возрастает по абсолютной величине.
Обозначения: f(x)®A при x® -¥ или .
Определение 3.Число A называется пределом функции y=f(x) при x®¥, если значения функции f(x) приближаются (стремятся) к числу A при неограниченном возрастании аргумента x по абсолютной величине.
Обозначения: f(x)®A при x®¥ или .
Пример 1.Вычислить предел функции .
Пример 2.Выяснить, существует ли предел функции .
Решение.Имеет место неопределенность вида . Теоремы о пределах применить нельзя. Рассмотрим два случая.
Пусть x>0. Тогда . Следовательно: .
Если же
x<0, то
. Следовательно:
.
Итак, функция не имеет предела при x® ¥ .
Все темы данного раздела:
Виды матриц. Равенство матриц. Действия над матрицами
Определение 1.Матрицей размера m´n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называютс
Определители квадратных матриц
Определение 1.Определителем матрицы 2-го порядка (определителем 2-го порядка) называется число, которо
Свойства определителей
Позволяют существенно упростить вычисление определителя, особенно для определителей высоких порядков. При этом основной целью преобразований является получение определителя, в котором как можно бол
По элементам строки или столбца
Определение 1.Минором Mij элемента aij матрицы n-го порядка A называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной из матрицы
Алгоритм вычисления обратной матрицы
1. Находим определитель ½A½матрицы А.
Если ½A½=0, то А - особенная матрица, А-1 не существует.
Если ½A
Ранг матрицы и его вычисление с помощью элементарных преобразований
Определение 1.Пусть задана матрица А размером m´n и число k £ min (m, n). Минором k-го порядка матрицы А называе
Теорема о ранге матрицы
Понятие ранга матрицы тесно связано с понятием линейной зависимости (независимости) ее строк или столбцов.
Пусть дана матрица . Для
Виды систем линейных уравнений
Определение 1.Системой n линейных уравнений с n переменными называется система вида:
,
где a
Понятие о векторном пространстве и его базисе
Определение 1.Вектором называется направленный отрезок AB с начальной точкой A и конечной точкой B (который можно перемещать параллельно самому себе).
Собственные векторы и собственные значения матрицы. Характеристическое уравнение матрицы.
Определение 1.n-мерный вектор x ¹ 0 называется собственным вектором матрицы A размера n ´ n, если существует такое число l
Основные виды уравнения прямой на плоскости
Определение 1.Уравнением линии на плоскости Oxy называется уравнение F(x,y)=0, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки
Угол между прямыми
Пусть две прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами y=к1х+b1 и y=к2х+b2, т.е. k1=tg
Предел функции в точке
Определение 1.Число A называется пределом функции y=f(x) в точке x=x0, если значения функции f(x) приближаются (с
Бесконечно малые и бесконечно большие величины
Среди всех последовательностей, имеющих предел, выделяют последовательности, предел которых равен 0. Последовательность называют бесконечно малой последовательностью (б.м.п.), если её предел
ЛЕКЦИЯ 6
Тема 5: Предел и непрерывность
Тема 6: Производная
ПЛАН
1. Второй замечательный предел, число е.
2. Свойства функций, не
Свойства функций, непрерывных на отрезке
Определение 1.Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x=x0, если .
Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции
Определение 1.Функция называется дифференцируемой в точке x0, если существует производная функции
Основные правила дифференцирования функций одной переменной
К правилам дифференцирования обычно относят правила, позволяющие по определенному алгоритму найти производную любой элементарной функции. Для этого достаточно знать таблицу формул производных основ
Формулы производных основных элементарных функций
1. ,
2. ,
3.
Теорема Ролля и Лагранжа и их геометрический смысл
Теоремы этого параграфа являются основным средством, с помощью которого локальное понятие производной оказывается эффективным орудием при исследовании поведения функции (как в окрестности отдельной
Правило Лопиталя
При вычислении пределов функций для раскрытия неопределенностей вида и при стремлен
Достаточные признаки монотонности функции
Для некоторых функций исследование на монотонность и экстремумы можно провести по определению или используя свойства неравенств. Однако в большинстве случаев самым эффективным средством становится
Достаточные признаки существования экстремума
Определение 1.Точка называется точкой максимума функции f , если существует такая окрестность
Асимптоты графика функции
Определение 1.Асимптотой кривой, имеющей бесконечную ветвь, называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при д
Дифференциал функции и его геометрический смысл
Определение 1.Пусть функция дифференцируема в точке x0, т.е. приращение функции f в точке
Функции нескольких переменных. Частные производные
, - функция двух переменных;
Экстремум функции нескольких переменных и его необходимое условие
Определение 1.Точка называется точкой максимума функции
Нахождение эмпирических формул
1) установление вида зависимости y=f(x) (линейная, квадратичная, степенная, показательная, логарифмическая);
2) определение неизвестных параметров функции.
На
Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл и его свойства
Всякий раз, когда в математике рассматривается какая-либо операция, возникает вопрос об операции, обратной ей. При рассмотрении обратной операции возникает два основных вопроса: ее осуществимость и
Доказательство.
1) для любого ;
2) рассмотрим функцию
Метод интегрирования по частям
Теорема 1.Пусть функции и имеют на промежутке I непрерывные про
Метод замены переменной в неопределенном интеграле
Метод замены переменной основан на правиле дифференцирования сложной функции.
Теорема.Пусть функция x=j(t) имеет непрерывную производную
Определенный интеграл как предел интегральной суммы
Очень многие задачи различных наук (математики, физики, экономики и других наук) приводят к необходимости вычисления для данной функции на некотором отрезке предела сумм специального вида. Задача о
Свойства определенного интеграла
Перечислим некоторые основные свойства определенного интеграла:
1) если функция f интегрируема на и
Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница
В этом параграфе мы докажем основную формулу интегрального исчисления, устанавливающую связь между понятиями определенного интеграла и первообразной функции.
Пусть функция
Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
Рассмотрим обобщения определенного интеграла, которые появляются при отказе от ограниченности промежутка интегрирования.
Определение 1.Пусть функция
Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла
Определение 1.Криволинейной трапецией, порожденной графиком неотрицательной функции f на отрезке , называется
Понятие о дифференциальном уравнении. Общее и частное решения
Теория дифференциальных уравнений возникла в конце 17 века под влиянием потребностей механики и других естественнонаучных дисциплин, по существу одновременно с интегральным и дифференциальным исчис
Однородные и линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка и их решения
Определение 1.Однородным уравнением первого порядка называется дифференциальное уравнение первого порядка, которое может быть представлено в виде
Определение числового ряда. Сходимость числового ряда
Определение 1.Если члены числовой последовательности (an) соединить знаком «+», то полученное формальное выражение а1+а2+а
Интегральный признак сходимости числовых рядов
Теорема 1(интегральный признак Коши). Пусть - ряд с неотрицательными членами и существует непрерывная, невозрастающая,
Степенной ряд и его область сходимости
Определение 1.Функциональным рядом называется формальное выражение , в котором знаком + соединены функции од
Условия разложения функции в степенной ряд. Ряд Маклорена
Нахождение суммы S(x) данного степенного ряда называется суммированием степенного ряда.
Нахождение для
С помощью степенных рядов
Разложение функций в степенные ряды с успехом применяется для решения различных задач, например:
- вычисление сумм числовых рядов;
- вычисление значений аналитических функций;
Методические указания к практическим занятиям
1 Решение задач должно быть итогом усвоения теоретического материала, при этом предварительно следует сделать анализ уже решённых задач, а затем самостоятельно решать задачи.
2. Каждый эта
МАТЕМАТИКА
Специальность: 08050062 и название специальности
Формы обучения (очная)
Тула-20011
Методичес
ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
ЗАДАНИЕ 1
Даны матрицы
Найти матрицы (Варианты:1-10) :2А-В; A2 ;A-1;C-1
Новости и инфо для студентов