Предел функции в точке

Определение 1.Число A называется пределом функции y=f(x) в точке x=x₀, если значения функции f(x) приближаются (стремятся) к числу A, когда значения аргумента x приближаются (стремятся) к числу x₀ (x¹x₀).

Обозначения: или f(x)®A при x®x₀ . Более строго:

Определение 1'.Число A называется пределом функции y=f(x) в точке x=x₀, если для любого как угодно малого числа e>0 существует такое число d>0, выбираемое в зависимости от e, что для всех значений аргумента x, удовлетворяющих неравенству |x-x₀|<d, соответствующее значение функции удовлетворяет неравенству |f(x)-A|<e.

Заметим, что не всякая функция имеет предел в заданной точке.

При нахождении предела функции используется два основных способа:

1) по определению; например, для доказательства или .

2) с использованием известных пределов и (или) теорем о пределах.

Теорема 1.Если функция y=f(x) имеет предел в точке x=x₀, то только один.

Теорема 2.Пусть , и в некоторой проколотой окрестности точки x₀ выполняется неравенство f(x)£h(x)£g(x) . Тогда: ;

Теорема 3.Пусть , . Тогда:

1. ;

2. ;

3. (если B¹0).