Бесконечно малые и бесконечно большие величины

Среди всех последовательностей, имеющих предел, выделяют последовательности, предел которых равен 0. Последовательность называют бесконечно малой последовательностью (б.м.п.), если её предел равен 0.

Среди всех функций, имеющих предел в точке x=x₀, наибольшее значение имеют функции, предел которых в этой точке равен 0. Функция y=a(x) называется бесконечно малой функцией (б.м.ф.) при x®x₀ , если .

Теорема 1.Сумма двух б.м.п. (б.м.ф.) есть б.м.п. (б.м.ф.)

Теорема 2.Произведение б.м.п. (б.м.ф.) на ограниченную последовательность (функцию) есть б.м.п. (б.м.ф.)

Теорема 3.Произведение двух б.м.п. (б.м.ф.) есть б.м.п. (б.м.ф.)

Последовательность, которая не имеет предела, называется расходящейся последовательностью.

Пример 1.a_n=(-1)ⁿ. a₁ = -1, a₂ = 1, a₃ = -1, a₄ = 1, … .

Замечание 1.Среди всех расходящихся последовательностей выделяют так называемые бесконечно большие последовательности (б.б.п.), элементы которых неограниченно возрастают по абсолютной величине при возрастании их номеров.

Пример 2.a_n = n. a₁ = 1, a₂ = 2, a₃ = 3, a₄ = 4, … (положительная б.б.п.).

Пример 3.a_n = -n². a₁ = -1, a₂ = -4, a₃ = -9, a₄ = -16, … (отрицательная б.б.п.).

Пример 4.a_n = (-1)ⁿ×n. a₁ = -1, a₂ = 2, a₃ = -3, a₄ = 4, … (б.б.п.).

Теорема 1.1) если (a_n) — б.м.п., то (1/a_n) — б.б.п.;

2) если (b_n) — б.б.п., то (1/b_n) — б.м.п.

Пример 5.есть б.б.п., т.к. .

Замечание 2.Среди всех функций, не имеющих предел в точке x=x₀, выделяют бесконечно большие функции. Функция y=b(x) называется бесконечно большой функцией (б.б.ф.) при x®x₀, если значения функции неограниченно возрастают по модулю при x®x₀.

Теорема 2.1) если y=a(x) – б.м.ф. при x®x₀, то 1/a(x) – б.б.ф. при x®x₀;

2) если y=b(x) – б.б.ф. при x®x₀, то 1/b(x) – б.м.ф. при x®x₀