Тема 5: Предел и непрерывность
Тема 6: Производная
ПЛАН
1. Второй замечательный предел, число е.
2. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
3. Производная и её геометрический смысл.
4. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции.
1. Второй замечательный предел, число е
Рассмотрим последовательность . Вычислим a1=2, , ,… . Можно доказать, что последовательность является возрастающей и ограниченной сверху, следовательно, имеет предел (по теореме о сходимости монотонной ограниченной последовательности). Обозначим предел буквой е.
Определение 1.Числом e называется предел последовательности .
Известно, что число e является иррациональным числом и e=2,718281828459045…
Можно доказать также, что . Этот предел и называется вторым замечательным пределом. Обратим внимание, что переменная x принимает значения произвольного знака, следовательно, и .
Замечание 1.Второй замечательный предел широко используется при вычислении пределов для раскрытия неопределенностей вида (1¥).
Замечание 2.Второй замечательный предел часто используется в другой форме. Обозначим 1/x=y, тогда x=1/y (x®¥ Û y®0). Следовательно, .
Известно, что логарифмическая функция y=logax является обратной к показательной функции y=ax.
Определение 2.Натуральным логарифмом (логарифмической функцией с основанием e) называется функция, обратная к показательной функции y=еx и обозначается y=lnx.
Напомним основные свойства функции y=lnx:
1) область определения функции ¾ промежуток (0;+¥);
2) множество значений функции ¾ вся числовая прямая (-¥;+¥);
3) функция lnx возрастает на (0;+¥);
4) функция lnx непрерывна в любой точке xÎ(0;+¥);
5) , .