Свойства функций, непрерывных на отрезке

Определение 1.Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x=x0, если .

Можно доказать, что любая элементарная функция непрерывна в любой точке своей области определения. Напомним, что функция называется элементарной, если она может быть получена из основных элементарных функций с помощью конечного числа операций сложения, умножения, деления и композиции функций. К основным элементарным функциям обычно относят степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

Определение 2.Функция y=f(x) называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

3. Производная и её геометрический смысл

Очень многие задачи естествознания (математики, физики, химии, биологии и других наук) приводят к необходимости вычисления для заданной функции пределов специального вида, которые характеризуют скорость изменения значений функции.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Пусть Разность называется приращением независимой переменной (или приращением аргумента) в точке x0 и обозначается Dx. Итак, . Следовательно, .

Приращением функции f в точке x0, соответствующим приращению Dx, называется разность и обозначается или просто Df. При фиксированном значении x0 приращение функции Df есть функция от Dx.

Определение 1.Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Производной функции f в точке x0 называется предел , если он существует и конечен.

Обозначения: , , , .

Заметим, что производная функции в точке – это число.

Выясним геометрический смысл производной функции f в точке x0. Прямая ММ0, проходящая через точки М0(x0; f(x0)) , М(x; f(x)) при , называется секущей графика. Положение секущей определяется точкой М0 и угловым коэффициентом секущей . Если , то точка М, перемещаясь по графику, приближается к точке М0. Возможно получится так, что секущая будет приближаться к некоторому определенному положению М0N.

Определение 2. Если существует предельное положение секущей ММ0 при , т.е. существует , то прямая, проходящая через точку М0 и имеющая угловой коэффициент k0, называется касательной к графику функции f в точке М0(x0; f(x0)) .

Если существует , то существует , а это и означает, по определению, что существует касательная к графику функции f в точке М0 и ее угловой коэффициент .

Итак, геометрический смысл производной функции f в точке x0 заключается в том, что значение производной равно угловому коэффициенту касательной к графику функции f , проведенной в точке М0(x0; f(x0)) . Зная координаты точки М0 и угловой коэффициент, получаем уравнение этой касательной: .