Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции

Определение 1.Функция называется дифференцируемой в точке x₀, если существует производная функции f в точке x₀ .

Определение 2.Функция называется непрерывной в точке x₀, если:

1) функция f определена в точке x₀;

2) существует предел функции f в точке x₀;

3) .

Теорема 2.Если функциядифференцируема в точке x₀ , то она непрерывна в точке x₀ .

Доказательство.Заметим, что условие равносильно условию , т.е. .

По определению дифференцируемости функции f в точке x₀ существует .

Следовательно, , т.е. функция f непрерывна в точке x₀. Теорема доказана.

Замечание 1.Непрерывность функции f в точке x₀ не является достаточным условием дифференцируемости функции f в точке x₀. Например, функция y = |x| непрерывна в точке x=0, но не имеет в этой точке производной.

Более того, существуют функции, непрерывные в каждой точке числовой прямой, но не имеющие производной ни в одной точке.

Замечание 2.Понятия непрерывности и дифференцируемости функции имеют достаточно наглядную геометрическую интерпретацию.

Если функция f непрерывна на промежутке (т.е. непрерывна в каждой точке этого промежутка) то график функции на этом промежутке можно изобразить, не отрывая изображающего инструмента (карандаша, ручки, мела и т.д.) от плоскости изображения (листа бумаги, доски и т.д.).

Если функция f дифференцируема на промежутке (т.е. имеет производную в каждой точке этого промежутка) то график функции на этом промежутке является гладкой кривой без разрывов и изломов.