Теоремы этого параграфа являются основным средством, с помощью которого локальное понятие производной оказывается эффективным орудием при исследовании поведения функции (как в окрестности отдельной точки, так и на промежутках области ее определения).
Теорема Ролля.Пусть функция :
1) определена и непрерывна на отрезке ;
2) дифференцируема на интервале ;
3) .
Тогда существует такая точка , что.
Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что если функция f непрерывна на отрезке, дифференцируема внутри его и принимает на концах отрезка равные значения, то существует точка графика функции, в которой касательная параллельна оси Ox .
Теорема Лагранжа.Пусть функция :
1) определена и непрерывна на отрезке ;
2) дифференцируема на интервале ;
Тогда существует такая точка , что.
Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в том, что если функция f непрерывна на отрезке и дифференцируема внутри его, то существует точка графика функции, в которой касательная параллельна хорде, соединяющей точки и .
Замечание.Формулу Лагранжа часто записывают в виде
и говорят, что приращение дифференцируемой функции на отрезке равно произведению приращения аргумента на значение производной в некоторой промежуточной точке.
Порядок точек b и a несущественен: если , то , следовательно, .
Определение 1.Точка называется внутренней точкой множества , если существует окрестность точки , содержащаяся в E .
Определение 2.Точка называется граничной точкой множества , если в любой ее окрестности есть точки как принадлежащие множеству E, так и не принадлежащие ему.
Ясно, что точка является граничной точкой множества в том и только в том случае, если она является одновременно точкой прикосновения для множества E и его дополнения .
Теорема 2(условие постоянства функции). Пусть функция f :
1) определена и непрерывна на промежутке I ;
2) во всех внутренних точках промежутка I имеет производную , равную 0.
Тогда функция f постоянна на промежутке I .
Доказательство.Зафиксируем точку . Пусть . Применим к функции f на отрезке с концами x0 и x теорему Лагранжа: , где c - между x0 и x . По условию теоремы, , следовательно, для всех , т.е. функция f постоянна на I .