Правило Лопиталя

При вычислении пределов функций для раскрытия неопределенностей вида и при стремлении аргумента к некоторому значению (, , , , , ) нередко эффективно применяется прием, суть которого состоит в замене предела частного двух функций на предел частного их производных .

Отметим, что это возможно, если функции f и g удовлетворяют некоторым условиям. Сформулируем соответствующие теоремы для некоторых случаев.

Теорема 1.Пусть функции и :

1) являются бесконечно малыми при ;

2) дифференцируемы в некоторой проколотой окрестности ;

3) в .

Тогда, если существует , то существует , причем эти пределы равны.

Замечание 1.Если не существует, то из этого не следует, что не существует .

Замечание 2.После некоторых тождественных преобразований правило Лопиталя применимо для раскрытия неопределенностей вида , а нередко и для раскрытия неопределенностей вида .

Пример 1. .