При вычислении пределов функций для раскрытия неопределенностей вида и при стремлении аргумента к некоторому значению (, , , , , ) нередко эффективно применяется прием, суть которого состоит в замене предела частного двух функций на предел частного их производных .
Отметим, что это возможно, если функции f и g удовлетворяют некоторым условиям. Сформулируем соответствующие теоремы для некоторых случаев.
Теорема 1.Пусть функции и :
1) являются бесконечно малыми при ;
2) дифференцируемы в некоторой проколотой окрестности ;
3) в .
Тогда, если существует , то существует , причем эти пределы равны.
Замечание 1.Если не существует, то из этого не следует, что не существует .
Замечание 2.После некоторых тождественных преобразований правило Лопиталя применимо для раскрытия неопределенностей вида , а нередко и для раскрытия неопределенностей вида .
Пример 1. .