Для некоторых функций исследование на монотонность и экстремумы можно провести по определению или используя свойства неравенств. Однако в большинстве случаев самым эффективным средством становится применение производной.
Определение 1.Функция f называется возрастающей на промежутке X, если для любых и из множества X таких, что , выполнено неравенство .
Определение 2.Функция f называется убывающей на промежутке X, если для любых и из множества X таких, что , выполнено неравенство .
Теорема 1.(условие возрастания функции).Пусть функция :
1) определена и непрерывна на промежутке X;
2) во всех внутренних точках промежутка X производная .
Тогда функция f возрастает на промежутке X.
Доказательство.Пусть , . Применим к функции f на отрезке теорему Лагранжа, согласно которой существует такая точка , что . Точка c есть внутренняя точка промежутка X ; следовательно, . Тогда . Этим доказано возрастание f на промежутке X .
Аналогично доказывается следующая теорема.
Теорема 2.(условие убывания функции).Пусть функция :
1) определена и непрерывна на промежутке X;
2) во всех внутренних точках промежутка X производная .
Тогда функция f убывает на промежутке X.