Достаточные признаки существования экстремума

Определение 1.Точка называется точкой максимума функции f , если существует такая окрестность , что для всех выполняется неравенство .

Определение 2.Точка называется точкой минимума функции f , если существует такая окрестность , что для всех выполняется неравенство .

Определение 3.Точки минимума и максимума функции f называются точками экстремума функции f . Значение функции в точке экстремума называется экстремумом функции.

Теорема 1(необходимое условие экстремума). Если точка является точкой экстремума функции f , определенной в некоторой окрестноститочки , то либо производная не существует, либо .

Доказательство.Пусть существует и f принимает в точке максимум. Заметим, что при имеем . Следовательно, если , то , а если , то . Тогда , . Так как существует , то односторонние пределы равны. Это возможно лишь в случае . Аналогично рассматривается случай минимума функции f в точке . Теорема доказана.

Определение 1.Точки, в которых производная функции f равна нулю или не существует, называются критическими точками функции f.

Следует иметь в виду, что не всякая критическая точка функции является точкой экстремума. Например, функции и возрастают на R, но имеют критическую точку .

Следующие теоремы позволяют выделять среди критических точек функции точки экстремума.

Теорема 1.(достаточное условие максимума).Пусть функция :

1) непрерывна в точке ;

2) дифференцируема в некоторой проколотой окрестности ;

3) на интервале ; на интервале .

Тогда точка есть точка максимума функции f .

Доказательство.Пусть . Применим к функции f на отрезке с концами x и теорему Лагранжа, согласно которой существует такая точка c между x и , что .