Дифференциал функции и его геометрический смысл

Определение 1.Пусть функция дифференцируема в точке x₀, т.е. приращение функции f в точке x₀ может быть представлено в виде , где . Дифференциалом функции f в точке x₀ называется главная линейная часть приращения функции f в точке x₀ и обозначается или .

Обратим внимание на то, что в фиксированной точке x₀ линейно зависит от приращения аргумента и при условии действительно вносит главный вклад в приращение функции f , ибо

.

Заметим также, что дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной. Действительно, рассмотрим функцию . Имеем , следовательно, , то есть .

Итак, если функция f дифференцируема в точке x, то в этой точке существует дифференциал функции f, который может быть вычислен по формуле

,

т.е. дифференциал функции f равен произведению производной функции f на дифференциал аргумента.

Выясним геометрический смысл дифференциала функции f в точке x₀ . Пусть функция f дифференцируема в точке x₀ ,следовательно, существует касательная к графику функции f в точке М₀(x₀; f(x₀)) . Зафиксируем приращение аргумента Dx в точке x₀. Рассмотрим треугольник M₀SN, где MN - касательная к графику f, а M₀S и MS - прямые, параллельные осям координат. Ясно, что M₀S=Dx , MS=Dy , NS=M₀S×tga=.

Итак, дифференциал функции равен приращению ординаты касательной, вызванному приращением абсциссы .

Теорема 1.Если функции u, v дифференцируемы в точке x₀ , то:

1) (дифференциал суммы равен сумме дифференциалов);

2) ;

3) если , то .

Напомним, что дифференциал функции , где x - независимая переменная, вычисляется по формуле . Оказывается, что эта формула верна и в том случае, если переменная x сама является дифференцируемой функцией вида .

Если функция дифференцируема в точке, а функция дифференцируема в точке , то дифференциал композиции этих функций

.

Это свойство называется инвариантностью формы первого дифференциала функции.