Доказательство.

1) для любого ;

2) рассмотрим функцию . Ее производная для любого . Отсюда следует, в силу условия постоянства функции на промежутке, что есть функция, принимающая на I некоторое постоянное значение С. Таким образом, для всех имеет место и, следовательно, .

Определение 2.Совокупность всех первообразных функций для функции f на промежутке I называется неопределенным интегралом функции f и обозначается .

Если F - какая-либо первообразная функции f, то из теоремы 1 следует, что . Это утверждение принято записывать так:

. Однако надо помнить, что всякое равенство, в обеих частях которого стоят неопределенные интегралы, есть равенство двух множеств.

Интегрирование в общем случае представляет собой значительно более сложную задачу, чем дифференцирование функции. Более того, имеется много элементарных функций, для которых первообразные не являются элементарными. Например, интегралы , , , , не выражаются через элементарные функции.

Далее изучим некоторые средства интегрирования тех элементарных функций, первообразные которых - также элементарные функции.