Метод замены переменной в неопределенном интеграле

Метод замены переменной основан на правиле дифференцирования сложной функции.

Теорема.Пусть функция x=j(t) имеет непрерывную производную, тогда

.

Доказательство.Пусть F(x) – первообразная для функции f(x), т.е. . Следовательно, по правилу дифференцирования сложной функции, имеем

.

Тогда . Теорема доказана.

Следствие.Из теоремы следует, что следующее формальное преобразование является истинным:

.

Замечание 1.Нередко формула для интегрирования заменой переменной находится после выбора некоторой функции , удобной для преобразования подынтегральной функции, но не позволяющей применить метод интегрирования подстановкой.

Пример 1.

.

Замечание 2.Однако чаще формула теоремы применяется в другую сторону:

.

Эта формула нередко называется методом интегрирования подстановкой. Подчеркнем, что метод подстановки эффективен в том случае, если подынтегральная функция может быть представлена в виде , т.е. если подынтегральная функция содержит в качестве множителя производную () того выражения , которое обозначается через новую переменную t.

Пример 2..

Замечание 3.Третье свойство первообразной является частным случаем метода подстановки.

Пример 3..