Метод замены переменной основан на правиле дифференцирования сложной функции.
Теорема.Пусть функция x=j(t) имеет непрерывную производную, тогда
.
Доказательство.Пусть F(x) – первообразная для функции f(x), т.е. . Следовательно, по правилу дифференцирования сложной функции, имеем
.
Тогда . Теорема доказана.
Следствие.Из теоремы следует, что следующее формальное преобразование является истинным:
.
Замечание 1.Нередко формула для интегрирования заменой переменной находится после выбора некоторой функции , удобной для преобразования подынтегральной функции, но не позволяющей применить метод интегрирования подстановкой.
Пример 1.
.
Замечание 2.Однако чаще формула теоремы применяется в другую сторону:
.
Эта формула нередко называется методом интегрирования подстановкой. Подчеркнем, что метод подстановки эффективен в том случае, если подынтегральная функция может быть представлена в виде , т.е. если подынтегральная функция содержит в качестве множителя производную () того выражения , которое обозначается через новую переменную t.
Пример 2..
Замечание 3.Третье свойство первообразной является частным случаем метода подстановки.
Пример 3..