Определенный интеграл как предел интегральной суммы

Очень многие задачи различных наук (математики, физики, экономики и других наук) приводят к необходимости вычисления для данной функции на некотором отрезке предела сумм специального вида. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции.

Пусть функция f определена на отрезке .

1. Набор точектаких, что называется разбиением отрезка и обозначается символом Т.

Диаметром разбиения Т называется число, где . Заметим, что (k=1,2,…,n) и .

2. Для каждого kÎ{1,2,…,n} на отрезке выберем произвольную точку .

3. Интегральной суммой функции f на , соответствующей разбиению Т и точкам x₁, x₂, …, x_n, называется число .

Определение 1.Определенным интегралом функции f на отрезкеназывается предел интегральных сумм функции f на при стремлении к нулю диаметра разбиения, если предел существует, не зависит от способа разбиения отрезка , не зависит от выбора точек .

Обозначение: . При этом функция называется подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением, числа a и b - пределами интегрирования (a - нижний предел, b - верхний предел).

Определение 2. Если существует определенный интеграл функции f на отрезке , то функция f называется интегрируемой на отрезке .

Теорема 1. Если функция f непрерывна на отрезке , то f интегрируема на нем.