Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница

В этом параграфе мы докажем основную формулу интегрального исчисления, устанавливающую связь между понятиями определенного интеграла и первообразной функции.

Пусть функция интегрируема на отрезке . Тогда при любом существует интеграл , т.е. определенный интеграл с переменным верхним пределом является некоторая определенная на отрезке функция .

Теорема 1.Если функция f непрерывна на отрезке , то функция f имеет на отрезке первообразную, а именно функцию .

Доказательство.Докажем, что функция является первообразной для f на , т.е. при любом .

По определению производной, .

Зафиксируем . Зададим такое, что .

Вычислим .

Тогда приращение функции .

По теореме о среднем, существует такая точка m между точками x и , что , следовательно, . Если , то . В силу непрерывности f имеем . Следовательно, , т.е. . Теорема доказана.

Теорема 2(формула Ньютона-Лейбница).Пусть функция f непрерывна на отрезке . Тогда, если функция F - какая-либо первообразная функции f на отрезке , то .

Доказательство.По условию функция F является первообразной функции f на . По теореме 1, функция также является первообразной функции f на . По теореме об общем виде первообразных, существует такое число , что для всех .

. . Тогда, и .

Итак, при всех . Тогда .

Но . Следовательно, .

Замечание.Для приращения первообразной F на часто применяется обозначение . Тогда формула Ньютона-Лейбница выглядит так: .