Определение 1.Однородным уравнением первого порядка называется дифференциальное уравнение первого порядка, которое может быть представлено в виде
,
где f – некоторая функция одной переменной.
Метод решения однородного дифференциального уравнения: вводим новую переменную . Следовательно, . Получаем уравнение с разделяющимися переменными относительно переменной z:
.
Определение 2.Линейным уравнением первого порядка называется дифференциальное уравнение первого порядка, которое линейно относительно функции y и ее производной , т.е. уравнение вида
Определение 2.Если , то уравнение вида называется однородным линейным уравнением первого порядка.
Однородное линейное уравнение первого порядка является уравнением с разделяющимися переменными: . Функция y=0 является решением этого уравнения.
Если же , то получаем , тогда . Если - некоторая первообразная функции , то
.
Итак, общее решение однородного линейного уравнения имеет вид
.
В общем случае, т.е. если , уравнение называется неоднородным линейным уравнением первого порядка.
Имеется несколько способов решения неоднородных линейных уравнений. Рассмотрим метод вариации постоянной. Общее решение ищем в виде
,
где - неизвестная функция.
Подставляя в уравнение y и , имеем
,
следовательно,
,
.
Подставляя найденное значение , получаем общее решение
,
которое является суммой общего решения соответствующего однородного линейного уравнения и частного решения линейного неоднородного уравнения.
ЛЕКЦИЯ 14