Однородные и линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка и их решения

Определение 1.Однородным уравнением первого порядка называется дифференциальное уравнение первого порядка, которое может быть представлено в виде

,

где f – некоторая функция одной переменной.

Метод решения однородного дифференциального уравнения: вводим новую переменную . Следовательно, . Получаем уравнение с разделяющимися переменными относительно переменной z:

.

Определение 2.Линейным уравнением первого порядка называется дифференциальное уравнение первого порядка, которое линейно относительно функции y и ее производной , т.е. уравнение вида

Определение 2.Если , то уравнение вида называется однородным линейным уравнением первого порядка.

Однородное линейное уравнение первого порядка является уравнением с разделяющимися переменными: . Функция y=0 является решением этого уравнения.

Если же , то получаем , тогда . Если - некоторая первообразная функции , то

.

Итак, общее решение однородного линейного уравнения имеет вид

.

В общем случае, т.е. если , уравнение называется неоднородным линейным уравнением первого порядка.

Имеется несколько способов решения неоднородных линейных уравнений. Рассмотрим метод вариации постоянной. Общее решение ищем в виде

,

где - неизвестная функция.

Подставляя в уравнение y и , имеем

,

следовательно,

,

.

Подставляя найденное значение , получаем общее решение

,

которое является суммой общего решения соответствующего однородного линейного уравнения и частного решения линейного неоднородного уравнения.
ЛЕКЦИЯ 14