Определение числового ряда. Сходимость числового ряда
Определение числового ряда. Сходимость числового ряда - раздел Математика, Конспект лекций по дисциплине: Элементы высшей математики Определение 1.Если Члены Числовой Последовательности (A...
Определение 1.Если члены числовой последовательности (an) соединить знаком «+», то полученное формальное выражение а1+а2+а3+…+an+… называется числовым рядом.
Числовой ряд будем также записывать символом или просто . Число аn называется n-м или общим членом ряда.
Договоримся, что если некоторые члены ряда имеют отрицательные знаки, то можно писать, например, вместо выражения .
Определение 2.Сумма первых п членов числового ряда называется n-ой частичной суммой ряда и обозначается Sn=а1+а2+а3+…+an .
По определению имеем S1=a1, S2=a1+a2, S3=a1+a2+a3и т.д. . Возникает новая числовая последовательность (Sn).
Определение 3.Если последовательность (Sn) частичных сумм числового ряда сходится к некоторому числу SÎR, то этот числовой ряд называется сходящимся.
Определение 4.Если числовой ряд сходится, то число называется суммой числового ряда и пишут S=или S=a1+a2+a3+…+аn+... .
Итак, символом будем обозначать и числовой ряд, и его сумму (если ряд сходится).
Подчеркнем, что S не есть "сумма всех членов ряда", а является пределом последовательности его частичных сумм, т.е. .
Определение 5.Числовой ряд называется расходящимся, если последовательность (Sn) его частичных сумм расходится.
Определение 6.Суммой двух числовых рядов иназывается числовой ряд .
Теорема 1.Если числовые ряды и сходятся и имеют суммы A и B , то числовой ряд также сходится и имеет сумму A+B .
Определение 7.Произведением числового ряда на число kÎRназывается числовой ряд .
Теорема 2.Если числовой ряд сходится и имеет сумму A , то числовой ряд также сходится для любого kÎR и имеет сумму k×A .
Для исследования числовых рядов на сходимость имеется ряд признаков. Далее рассмотрим некоторые из них.
Теорема 3.(необходимое условие сходимости числового ряда). Если числовой рядсходится, то.
Доказательство.Ряд сходится, т.е. существует предел . Заметим, что .
Рассмотрим . Тогда . Отсюда, .
Следствие 1.Если не выполнено условие , то ряд расходится.
Замечание 1.Условие не является достаточным для сходимости числового ряда . Например, гармонический рядрасходится, хотя и имеет место .
Определение 8.Числовой ряд an+1+an+2+…=, полученный из данного ряда отбрасыванием первых п членов, называется n-м остатком данного ряда и обозначается Rn.
Теорема 4.Если числовой рядсходится, то сходится и любой его остаток. Обратно: если сходится хотя бы один остаток ряда, то сходится и сам ряд. При этом, для любого nÎN выполняется равенство S=Sn+Rn .
Следствие 2.Сходимость или расходимость числового ряда не изменится, если удалить или добавить несколько первых членов.
Следствие 3..
нов ряда , что ряд сходится и его сумма равна C .
2. Признаки сравнения и признак Даламбера
сходимости знакоположительных рядов
Теорема 1(признак сравнения рядов с положительными членами в неравенствах).Пусть и- ряды с неотрицательными членами, причем для каждого пÎN выполнено условие аn£bn . Тогда:
1) из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими членами;
2) из расходимости ряда с меньшими членами следует расходимость ряда с большими членами.
Замечание 1.Теорема верна, если условие аn£bn выполняется с некоторого номера NÎN .
Теорема 2(признак сравнения рядов с положительными членами в предельной форме).
Пусть и- ряды с неотрицательными членами и существует. Тогда данные ряды сходятся или расходятся одновременно .
Теорема 3(признак Даламбера). Пусть- ряд с положительными членами и существует.
Тогда ряд сходится при q<1 и расходится при q>1 .
Доказательство.Пусть q<1. Зафиксируем число р такое, что q< p< 1. По определениюпредела числовой последовательности, с некоторого номера NÎN выполняется неравенство an+1/an<p, т.е. an+1< p×an.Тогда aN+1< p×aN , aN+2< p2×aN . По индукции легко показать, что для любого kÎN верно неравенство , aN+k< pk×aN . Но ряд сходится как геометрический ряд (p<1). Следовательно, по признаку сравнения рядов с неотрицательными членами, ряд также сходится. Следовательно, сходится и ряд (по теореме 2.2).
Пусть q>1. Тогда с некоторого номера NÎN верно неравенство an+1/an>1, т.е. an+1>an . Следовательно, с номера N последовательность (an) является возрастающей и условие не выполнено. Отсюда, по следствию2.1, вытекает расходимость ряда при q>1.
Определители квадратных матриц
Определение 1.Определителем матрицы 2-го порядка (определителем 2-го порядка) называется число, которо
Свойства определителей
Позволяют существенно упростить вычисление определителя, особенно для определителей высоких порядков. При этом основной целью преобразований является получение определителя, в котором как можно бол
По элементам строки или столбца
Определение 1.Минором Mij элемента aij матрицы n-го порядка A называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной из матрицы
Теорема о ранге матрицы
Понятие ранга матрицы тесно связано с понятием линейной зависимости (независимости) ее строк или столбцов.
Пусть дана матрица . Для
Виды систем линейных уравнений
Определение 1.Системой n линейных уравнений с n переменными называется система вида:
,
где a
Понятие о векторном пространстве и его базисе
Определение 1.Вектором называется направленный отрезок AB с начальной точкой A и конечной точкой B (который можно перемещать параллельно самому себе).
Основные виды уравнения прямой на плоскости
Определение 1.Уравнением линии на плоскости Oxy называется уравнение F(x,y)=0, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки
Угол между прямыми
Пусть две прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами y=к1х+b1 и y=к2х+b2, т.е. k1=tg
ЛЕКЦИЯ 5
Тема 5: Предел и непрерывность
ПЛАН
1. Предел последовательности при n®¥.
2. Предел функции при x®¥.
3. Предел функции в т
Предел функции в точке
Определение 1.Число A называется пределом функции y=f(x) в точке x=x0, если значения функции f(x) приближаются (с
Бесконечно малые и бесконечно большие величины
Среди всех последовательностей, имеющих предел, выделяют последовательности, предел которых равен 0. Последовательность называют бесконечно малой последовательностью (б.м.п.), если её предел
ЛЕКЦИЯ 6
Тема 5: Предел и непрерывность
Тема 6: Производная
ПЛАН
1. Второй замечательный предел, число е.
2. Свойства функций, не
Основные правила дифференцирования функций одной переменной
К правилам дифференцирования обычно относят правила, позволяющие по определенному алгоритму найти производную любой элементарной функции. Для этого достаточно знать таблицу формул производных основ
Теорема Ролля и Лагранжа и их геометрический смысл
Теоремы этого параграфа являются основным средством, с помощью которого локальное понятие производной оказывается эффективным орудием при исследовании поведения функции (как в окрестности отдельной
Правило Лопиталя
При вычислении пределов функций для раскрытия неопределенностей вида и при стремлен
Достаточные признаки монотонности функции
Для некоторых функций исследование на монотонность и экстремумы можно провести по определению или используя свойства неравенств. Однако в большинстве случаев самым эффективным средством становится
Асимптоты графика функции
Определение 1.Асимптотой кривой, имеющей бесконечную ветвь, называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при д
Нахождение эмпирических формул
1) установление вида зависимости y=f(x) (линейная, квадратичная, степенная, показательная, логарифмическая);
2) определение неизвестных параметров функции.
На
Определенный интеграл как предел интегральной суммы
Очень многие задачи различных наук (математики, физики, экономики и других наук) приводят к необходимости вычисления для данной функции на некотором отрезке предела сумм специального вида. Задача о
Свойства определенного интеграла
Перечислим некоторые основные свойства определенного интеграла:
1) если функция f интегрируема на и
Понятие о дифференциальном уравнении. Общее и частное решения
Теория дифференциальных уравнений возникла в конце 17 века под влиянием потребностей механики и других естественнонаучных дисциплин, по существу одновременно с интегральным и дифференциальным исчис
С помощью степенных рядов
Разложение функций в степенные ряды с успехом применяется для решения различных задач, например:
- вычисление сумм числовых рядов;
- вычисление значений аналитических функций;
Методические указания к практическим занятиям
1 Решение задач должно быть итогом усвоения теоретического материала, при этом предварительно следует сделать анализ уже решённых задач, а затем самостоятельно решать задачи.
2. Каждый эта
МАТЕМАТИКА
Специальность: 08050062 и название специальности
Формы обучения (очная)
Тула-20011
Методичес
или просто 
. Число аn называется n-м или общим членом ряда.
вместо выражения 
.
называется суммой числового ряда и пишут S=
называется числовой ряд 
.
.
.
. Заметим, что 
.
. Тогда 
. Отсюда, 
расходится, хотя и имеет место 
, полученный из данного ряда отбрасыванием первых п членов, называется n-м остатком данного ряда и обозначается Rn .
.
. Тогда данные ряды сходятся или расходятся одновременно .
.
сходится как геометрический ряд (p<1). Следовательно, по признаку сравнения рядов с неотрицательными членами, ряд 
также сходится. Следовательно, сходится и ряд 
Новости и инфо для студентов