рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Определение числового ряда. Сходимость числового ряда

Определение числового ряда. Сходимость числового ряда - раздел Математика, Конспект лекций по дисциплине: Элементы высшей математики Определение 1.Если Члены Числовой Последовательности (A...

Определение 1.Если члены числовой последовательности (an) соединить знаком «+», то полученное формальное выражение а1+а2+а3++an+называется числовым рядом.

Числовой ряд будем также записывать символом или просто . Число аn называется n-м или общим членом ряда.

Договоримся, что если некоторые члены ряда имеют отрицательные знаки, то можно писать, например, вместо выражения .

Определение 2.Сумма первых п членов числового ряда называется n-ой частичной суммой ряда и обозначается Sn=а1+а2+а3++an .

По определению имеем S1=a1, S2=a1+a2, S3=a1+a2+a3 и т.д. . Возникает новая числовая последовательность (Sn).

Определение 3.Если последовательность (Sn) частичных сумм числового ряда сходится к некоторому числу SÎR, то этот числовой ряд называется сходящимся.

Определение 4.Если числовой ряд сходится, то число называется суммой числового ряда и пишут S=или S=a1+a2+a3++аn+... .

Итак, символом будем обозначать и числовой ряд, и его сумму (если ряд сходится).

Подчеркнем, что S не есть "сумма всех членов ряда", а является пределом последовательности его частичных сумм, т.е. .

Определение 5.Числовой ряд называется расходящимся, если последовательность (Sn) его частичных сумм расходится.

Определение 6.Суммой двух числовых рядов и называется числовой ряд .

Теорема 1.Если числовые ряды и сходятся и имеют суммы A и B , то числовой ряд также сходится и имеет сумму A+B .

Определение 7.Произведением числового ряда на число kÎR называется числовой ряд .

Теорема 2.Если числовой ряд сходится и имеет сумму A , то числовой ряд также сходится для любого kÎR и имеет сумму k×A .

Для исследования числовых рядов на сходимость имеется ряд признаков. Далее рассмотрим некоторые из них.

Теорема 3.(необходимое условие сходимости числового ряда). Если числовой ряд сходится, то .

Доказательство.Ряд сходится, т.е. существует предел . Заметим, что .

Рассмотрим . Тогда . Отсюда, .

Следствие 1.Если не выполнено условие , то ряд расходится.

Замечание 1.Условие не является достаточным для сходимости числового ряда . Например, гармонический ряд расходится, хотя и имеет место .

Определение 8.Числовой ряд an+1+an+2+…=, полученный из данного ряда отбрасыванием первых п членов, называется n-м остатком данного ряда и обозначается Rn .

Теорема 4.Если числовой ряд сходится, то сходится и любой его остаток. Обратно: если сходится хотя бы один остаток ряда, то сходится и сам ряд. При этом, для любого nÎN выполняется равенство S=Sn+Rn .

Следствие 2.Сходимость или расходимость числового ряда не изменится, если удалить или добавить несколько первых членов.

Следствие 3..

нов ряда , что ряд сходится и его сумма равна C .

2. Признаки сравнения и признак Даламбера

сходимости знакоположительных рядов

Теорема 1(признак сравнения рядов с положительными членами в неравенствах). Пусть и - ряды с неотрицательными членами, причем для каждого пÎN выполнено условие аn£bn . Тогда:

1) из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими членами;

2) из расходимости ряда с меньшими членами следует расходимость ряда с большими членами.

Замечание 1.Теорема верна, если условие аn£bn выполняется с некоторого номера NÎN .

Теорема 2(признак сравнения рядов с положительными членами в предельной форме).

Пусть и - ряды с неотрицательными членами и существует . Тогда данные ряды сходятся или расходятся одновременно .

Теорема 3(признак Даламбера). Пусть - ряд с положительными членами и существует .

Тогда ряд сходится при q<1 и расходится при q>1 .

Доказательство.Пусть q<1. Зафиксируем число р такое, что q< p< 1. По определению предела числовой последовательности, с некоторого номера NÎN выполняется неравенство an+1 /an<p, т.е. an+1< p×an. Тогда aN+1< p×aN , aN+2< p2×aN . По индукции легко показать, что для любого kÎN верно неравенство , aN+k< pk×aN . Но ряд сходится как геометрический ряд (p<1). Следовательно, по признаку сравнения рядов с неотрицательными членами, ряд также сходится. Следовательно, сходится и ряд (по теореме 2.2).

Пусть q>1. Тогда с некоторого номера NÎN верно неравенство an+1/an>1, т.е. an+1>an . Следовательно, с номера N последовательность (an) является возрастающей и условие не выполнено. Отсюда, по следствию2.1, вытекает расходимость ряда при q>1.

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Конспект лекций по дисциплине: Элементы высшей математики

Негосударственная образовательная организация.. высшего профессионального образования.. некоммерческое партнерство..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Определение числового ряда. Сходимость числового ряда

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Виды матриц. Равенство матриц. Действия над матрицами
Определение 1.Матрицей размера m´n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называютс

Определители квадратных матриц
Определение 1.Определителем матрицы 2-го порядка (определителем 2-го порядка) называется число, которо

Свойства определителей
Позволяют существенно упростить вычисление определителя, особенно для определителей высоких порядков. При этом основной целью преобразований является получение определителя, в котором как можно бол

По элементам строки или столбца
Определение 1.Минором Mij элемента aij матрицы n-го порядка A называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной из матрицы

Алгоритм вычисления обратной матрицы
1. Находим определитель ½A½матрицы А. Если ½A½=0, то А - особенная матрица, А-1 не существует. Если ½A

Ранг матрицы и его вычисление с помощью элементарных преобразований
Определение 1.Пусть задана матрица А размером m´n и число k £ min (m, n). Минором k-го порядка матрицы А называе

Теорема о ранге матрицы
Понятие ранга матрицы тесно связано с понятием линейной зависимости (независимости) ее строк или столбцов. Пусть дана матрица . Для

Виды систем линейных уравнений
Определение 1.Системой n линейных уравнений с n переменными называется система вида: , где a

Понятие о векторном пространстве и его базисе
Определение 1.Вектором называется направленный отрезок AB с начальной точкой A и конечной точкой B (который можно перемещать параллельно самому себе).

Собственные векторы и собственные значения матрицы. Характеристическое уравнение матрицы
Определение 1.n-мерный вектор x ¹ 0 называется собственным вектором матрицы A размера n ´ n, если существует такое число l

Основные виды уравнения прямой на плоскости
Определение 1.Уравнением линии на плоскости Oxy называется уравнение F(x,y)=0, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки

Угол между прямыми
Пусть две прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами y=к1х+b1 и y=к2х+b2, т.е. k1=tg

ЛЕКЦИЯ 5
Тема 5: Предел и непрерывность ПЛАН 1. Предел последовательности при n®¥. 2. Предел функции при x®¥. 3. Предел функции в т

Предел функции в точке
Определение 1.Число A называется пределом функции y=f(x) в точке x=x0, если значения функции f(x) приближаются (с

Бесконечно малые и бесконечно большие величины
Среди всех последовательностей, имеющих предел, выделяют последовательности, предел которых равен 0. Последовательность называют бесконечно малой последовательностью (б.м.п.), если её предел

ЛЕКЦИЯ 6
Тема 5: Предел и непрерывность Тема 6: Производная ПЛАН 1. Второй замечательный предел, число е. 2. Свойства функций, не

Свойства функций, непрерывных на отрезке
Определение 1.Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x=x0, если .

Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции
Определение 1.Функция называется дифференцируемой в точке x0, если существует производная функции

Основные правила дифференцирования функций одной переменной
К правилам дифференцирования обычно относят правила, позволяющие по определенному алгоритму найти производную любой элементарной функции. Для этого достаточно знать таблицу формул производных основ

Формулы производных основных элементарных функций
1. , 2. , 3.

Теорема Ролля и Лагранжа и их геометрический смысл
Теоремы этого параграфа являются основным средством, с помощью которого локальное понятие производной оказывается эффективным орудием при исследовании поведения функции (как в окрестности отдельной

Правило Лопиталя
При вычислении пределов функций для раскрытия неопределенностей вида и при стремлен

Достаточные признаки монотонности функции
Для некоторых функций исследование на монотонность и экстремумы можно провести по определению или используя свойства неравенств. Однако в большинстве случаев самым эффективным средством становится

Достаточные признаки существования экстремума
Определение 1.Точка называется точкой максимума функции f , если существует такая окрестность

Асимптоты графика функции
Определение 1.Асимптотой кривой, имеющей бесконечную ветвь, называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при д

Дифференциал функции и его геометрический смысл
Определение 1.Пусть функция дифференцируема в точке x0, т.е. приращение функции f в точке

Функции нескольких переменных. Частные производные
, - функция двух переменных;

Экстремум функции нескольких переменных и его необходимое условие
Определение 1.Точка называется точкой максимума функции

Нахождение эмпирических формул
1) установление вида зависимости y=f(x) (линейная, квадратичная, степенная, показательная, логарифмическая); 2) определение неизвестных параметров функции. На

Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл и его свойства
Всякий раз, когда в математике рассматривается какая-либо операция, возникает вопрос об операции, обратной ей. При рассмотрении обратной операции возникает два основных вопроса: ее осуществимость и

Доказательство
1) для любого ; 2) рассмотрим функцию

Метод интегрирования по частям
Теорема 1.Пусть функции и имеют на промежутке I непрерывные про

Метод замены переменной в неопределенном интеграле
Метод замены переменной основан на правиле дифференцирования сложной функции. Теорема.Пусть функция x=j(t) имеет непрерывную производную

Определенный интеграл как предел интегральной суммы
Очень многие задачи различных наук (математики, физики, экономики и других наук) приводят к необходимости вычисления для данной функции на некотором отрезке предела сумм специального вида. Задача о

Свойства определенного интеграла
Перечислим некоторые основные свойства определенного интеграла: 1) если функция f интегрируема на и

Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница
В этом параграфе мы докажем основную формулу интегрального исчисления, устанавливающую связь между понятиями определенного интеграла и первообразной функции. Пусть функция

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
Рассмотрим обобщения определенного интеграла, которые появляются при отказе от ограниченности промежутка интегрирования. Определение 1.Пусть функция

Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла
Определение 1.Криволинейной трапецией, порожденной графиком неотрицательной функции f на отрезке , называется

Понятие о дифференциальном уравнении. Общее и частное решения
Теория дифференциальных уравнений возникла в конце 17 века под влиянием потребностей механики и других естественнонаучных дисциплин, по существу одновременно с интегральным и дифференциальным исчис

Однородные и линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка и их решения
Определение 1.Однородным уравнением первого порядка называется дифференциальное уравнение первого порядка, которое может быть представлено в виде

Интегральный признак сходимости числовых рядов
Теорема 1(интегральный признак Коши). Пусть - ряд с неотрицательными членами и существует непрерывная, невозрастающая,

Степенной ряд и его область сходимости
Определение 1.Функциональным рядом называется формальное выражение , в котором знаком + соединены функции од

Условия разложения функции в степенной ряд. Ряд Маклорена
Нахождение суммы S(x) данного степенного ряда называется суммированием степенного ряда. Нахождение для

С помощью степенных рядов
Разложение функций в степенные ряды с успехом применяется для решения различных задач, например: - вычисление сумм числовых рядов; - вычисление значений аналитических функций;

Методические указания к практическим занятиям
1 Решение задач должно быть итогом усвоения теоретического материала, при этом предварительно следует сделать анализ уже решённых задач, а затем самостоятельно решать задачи. 2. Каждый эта

Математика
    Специальность: 08050062 и название специальности Формы обучения (очная)     Тула-20011 Методичес

Задачи для контрольных работ
ЗАДАНИЕ 1   Даны матрицы Найти матрицы (Варианты:1-10) :2А-В; A2 ;A-1;C-1

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги