Определение числового ряда. Сходимость числового ряда

Определение 1.Если члены числовой последовательности (a_n) соединить знаком «+», то полученное формальное выражение а₁+а₂+а₃+…+a_n+… называется числовым рядом.

Числовой ряд будем также записывать символом или просто . Число а_n называется n-м или общим членом ряда.

Договоримся, что если некоторые члены ряда имеют отрицательные знаки, то можно писать, например, вместо выражения .

Определение 2.Сумма первых п членов числового ряда называется n-ой частичной суммой ряда и обозначается S_n=а₁+а₂+а₃+…+a_n .

По определению имеем S₁=a₁, S₂=a₁+a₂, S₃=a₁+a₂+a₃ и т.д. . Возникает новая числовая последовательность (S_n).

Определение 3.Если последовательность (S_n) частичных сумм числового ряда сходится к некоторому числу SÎR, то этот числовой ряд называется сходящимся.

Определение 4.Если числовой ряд сходится, то число называется суммой числового ряда и пишут S=или S=a₁+a₂+a₃+…+а_n+... .

Итак, символом будем обозначать и числовой ряд, и его сумму (если ряд сходится).

Подчеркнем, что S не есть "сумма всех членов ряда", а является пределом последовательности его частичных сумм, т.е. .

Определение 5.Числовой ряд называется расходящимся, если последовательность (S_n) его частичных сумм расходится.

Определение 6.Суммой двух числовых рядов и называется числовой ряд .

Теорема 1.Если числовые ряды и сходятся и имеют суммы A и B , то числовой ряд также сходится и имеет сумму A+B .

Определение 7.Произведением числового ряда на число kÎR называется числовой ряд .

Теорема 2.Если числовой ряд сходится и имеет сумму A , то числовой ряд также сходится для любого kÎR и имеет сумму k×A .

Для исследования числовых рядов на сходимость имеется ряд признаков. Далее рассмотрим некоторые из них.

Теорема 3.(необходимое условие сходимости числового ряда). Если числовой ряд сходится, то .

Доказательство.Ряд сходится, т.е. существует предел . Заметим, что .

Рассмотрим . Тогда . Отсюда, .

Следствие 1.Если не выполнено условие , то ряд расходится.

Замечание 1.Условие не является достаточным для сходимости числового ряда . Например, гармонический ряд расходится, хотя и имеет место .

Определение 8.Числовой ряд a_n+1+a_n+2+…=, полученный из данного ряда отбрасыванием первых п членов, называется n-м остатком данного ряда и обозначается R_n .

Теорема 4.Если числовой ряд сходится, то сходится и любой его остаток. Обратно: если сходится хотя бы один остаток ряда, то сходится и сам ряд. При этом, для любого nÎN выполняется равенство S=S_n+R_n .

Следствие 2.Сходимость или расходимость числового ряда не изменится, если удалить или добавить несколько первых членов.

Следствие 3..

нов ряда , что ряд сходится и его сумма равна C .

2. Признаки сравнения и признак Даламбера

сходимости знакоположительных рядов

Теорема 1(признак сравнения рядов с положительными членами в неравенствах). Пусть и - ряды с неотрицательными членами, причем для каждого пÎN выполнено условие а_n£b_n . Тогда:

1) из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими членами;

2) из расходимости ряда с меньшими членами следует расходимость ряда с большими членами.

Замечание 1.Теорема верна, если условие а_n£b_n выполняется с некоторого номера NÎN .

Теорема 2(признак сравнения рядов с положительными членами в предельной форме).

Пусть и - ряды с неотрицательными членами и существует . Тогда данные ряды сходятся или расходятся одновременно .

Теорема 3(признак Даламбера). Пусть - ряд с положительными членами и существует .

Тогда ряд сходится при q<1 и расходится при q>1 .

Доказательство.Пусть q<1. Зафиксируем число р такое, что q< p< 1. По определению предела числовой последовательности, с некоторого номера NÎN выполняется неравенство a_n+1 /a_n<p, т.е. a_n+1< p×a_n. Тогда a_N+1< p×a_N , a_N+2< p²×a_N . По индукции легко показать, что для любого kÎN верно неравенство , a_N+k< p^k×a_N . Но ряд сходится как геометрический ряд (p<1). Следовательно, по признаку сравнения рядов с неотрицательными членами, ряд также сходится. Следовательно, сходится и ряд (по теореме 2.2).

Пусть q>1. Тогда с некоторого номера NÎN верно неравенство a_n+1/a_n>1, т.е. a_n+1>a_n . Следовательно, с номера N последовательность (a_n) является возрастающей и условие не выполнено. Отсюда, по следствию2.1, вытекает расходимость ряда при q>1.