Интегральный признак сходимости числовых рядов - раздел Математика, Конспект лекций по дисциплине: Элементы высшей математики Теорема 1(Интегральный Признак Коши). Пусть ...
Теорема 1(интегральный признак Коши). Пусть - ряд с неотрицательными членами и существует непрерывная, невозрастающая, неотрицательная функция y=f(x), определенная на такая, что f(n)=an для всех nÎN. Тогда ряд и несобственный интеграл первого рода сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство.Сходимость интеграла функции f, удовлетворяющей условиям теоремы, равносильна существованию предела последовательности, т.е. сходимости ряда
для которого интеграл является (п-1)-ой частичной суммой. Осталось показать, что ряды и сходятся или расходятся одновременно.
В силу монотонности f для любого nÎN при всех xÎ[n;n+1] выполняются неравенства an+1=f(n+1)£f(x)£f(n)=an . Следовательно,
для любого nÎN .
Если сходится ряд , то, по признаку сравнения, сходится и ряд с меньшими членами .
Обратно: если сходится ряд , то, по признаку сравнения, сходится и ряд с меньшими членами . Следовательно, по теореме 2.2, сходится и ряд . Теорема доказана.
Замечание 1.С помощью интегрального признака несложно проверить, что числовой ряд сходится, если а>1, и расходится, если a£1. Ряд называется гармоническим рядом, а ряд с произвольным aÎR называется обобщенным гармоническим рядом.
4. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимости рядов
Исследование рядов с членами произвольных знаков представляет более трудную задачу, однако в двух случаях есть удобные признаки: для знакочередующихся рядов - теорема Лейбница; для абсолютно сходящихся рядов применим любой признак исследования рядов с неотрицательными членами.
Определение 1.Числовой ряд называется знакочередующимся, если любые два соседних члена имеют противоположные знаки, т.е. ряд имеет вид или , где an>0 для каждого nÎN .
Теорема 1(Лейбница). Знакочередующийся ряд сходится, если:
1) (an) - невозрастающая последовательность;
2) при .
При этом модуль суммы знакочередующегося ряда не превосходит модуля его первого члена, т.е. |S|£ a1 .
Доказательство.Пусть ряд имеет вид . Рассмотрим последовательность . Она является неубывающей, так как для любого nÎN выполняется условие , и ограниченной сверху, так как для любого nÎN выполняется условие . Следовательно, последовательность сходится. Пусть . Тогда . Отсюда получаем, что последовательность сходится к S, т.е. ряд сходится и имеет сумму S.
Заметим также, что , следовательно, для любого nÎN выполняется условие . Аналогичными рассуждениями доказывается, что , следовательно, . Если же ряд имеет вид , то . Следовательно, в общем случае выполняется неравенство . После предельного перехода при получаем , что и требовалось доказать.
Следствие 1.Модуль остатка знакочередующегося ряда типа Лейбница не превосходит модуля его первого члена, т.е. .
Определение 2.Если сходится ряд , то рядназывается абсолютно сходящимся.
Теорема 2.Если сходится ряд , то ряд также сходится.
Например, ряд является абсолютно сходящимися, так как ряд сходится по признаку сравнения, ибо для любого nÎN, а ряд сходится (a=2>1) .
Абсолютно сходящиеся ряды имеют ряд важных свойств, которыми обладают конечные суммы чисел:
- слагаемые можно переставлять местами;
- слагаемые можно группировать разными способами;
- суммы рядов можно перемножать.
Определение 3.Ряд называется перестановкой ряда , еслисуществуетбиекциятакая, что для любого nÎN.
Теорема 3.Если ряд абсолютно сходится, то сходится, и притом абсолютно, любая перестановка данного ряда, и их суммы совпадают.
Определение 4.Если ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется условно сходящимся .
Ряд является условно сходящимся. Действительно, ряд сходится (по теореме Лейбница), а ряд расходится.
Теорема 4(Римана).Если числовой ряд условно сходится, то для любого существует такой числовой ряд , полученный перестановкой членов ряда , что ряд сходится и его сумма равна C .
Негосударственная образовательная организация... высшего профессионального образования... некоммерческое партнерство...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Интегральный признак сходимости числовых рядов
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Определители квадратных матриц
Определение 1.Определителем матрицы 2-го порядка (определителем 2-го порядка) называется число, которо
Свойства определителей
Позволяют существенно упростить вычисление определителя, особенно для определителей высоких порядков. При этом основной целью преобразований является получение определителя, в котором как можно бол
По элементам строки или столбца
Определение 1.Минором Mij элемента aij матрицы n-го порядка A называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной из матрицы
Теорема о ранге матрицы
Понятие ранга матрицы тесно связано с понятием линейной зависимости (независимости) ее строк или столбцов.
Пусть дана матрица . Для
Виды систем линейных уравнений
Определение 1.Системой n линейных уравнений с n переменными называется система вида:
,
где a
Понятие о векторном пространстве и его базисе
Определение 1.Вектором называется направленный отрезок AB с начальной точкой A и конечной точкой B (который можно перемещать параллельно самому себе).
Основные виды уравнения прямой на плоскости
Определение 1.Уравнением линии на плоскости Oxy называется уравнение F(x,y)=0, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки
Угол между прямыми
Пусть две прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами y=к1х+b1 и y=к2х+b2, т.е. k1=tg
ЛЕКЦИЯ 5
Тема 5: Предел и непрерывность
ПЛАН
1. Предел последовательности при n®¥.
2. Предел функции при x®¥.
3. Предел функции в т
Предел функции в точке
Определение 1.Число A называется пределом функции y=f(x) в точке x=x0, если значения функции f(x) приближаются (с
Бесконечно малые и бесконечно большие величины
Среди всех последовательностей, имеющих предел, выделяют последовательности, предел которых равен 0. Последовательность называют бесконечно малой последовательностью (б.м.п.), если её предел
ЛЕКЦИЯ 6
Тема 5: Предел и непрерывность
Тема 6: Производная
ПЛАН
1. Второй замечательный предел, число е.
2. Свойства функций, не
Основные правила дифференцирования функций одной переменной
К правилам дифференцирования обычно относят правила, позволяющие по определенному алгоритму найти производную любой элементарной функции. Для этого достаточно знать таблицу формул производных основ
Теорема Ролля и Лагранжа и их геометрический смысл
Теоремы этого параграфа являются основным средством, с помощью которого локальное понятие производной оказывается эффективным орудием при исследовании поведения функции (как в окрестности отдельной
Правило Лопиталя
При вычислении пределов функций для раскрытия неопределенностей вида и при стремлен
Достаточные признаки монотонности функции
Для некоторых функций исследование на монотонность и экстремумы можно провести по определению или используя свойства неравенств. Однако в большинстве случаев самым эффективным средством становится
Асимптоты графика функции
Определение 1.Асимптотой кривой, имеющей бесконечную ветвь, называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при д
Нахождение эмпирических формул
1) установление вида зависимости y=f(x) (линейная, квадратичная, степенная, показательная, логарифмическая);
2) определение неизвестных параметров функции.
На
Определенный интеграл как предел интегральной суммы
Очень многие задачи различных наук (математики, физики, экономики и других наук) приводят к необходимости вычисления для данной функции на некотором отрезке предела сумм специального вида. Задача о
Свойства определенного интеграла
Перечислим некоторые основные свойства определенного интеграла:
1) если функция f интегрируема на и
Понятие о дифференциальном уравнении. Общее и частное решения
Теория дифференциальных уравнений возникла в конце 17 века под влиянием потребностей механики и других естественнонаучных дисциплин, по существу одновременно с интегральным и дифференциальным исчис
С помощью степенных рядов
Разложение функций в степенные ряды с успехом применяется для решения различных задач, например:
- вычисление сумм числовых рядов;
- вычисление значений аналитических функций;
Методические указания к практическим занятиям
1 Решение задач должно быть итогом усвоения теоретического материала, при этом предварительно следует сделать анализ уже решённых задач, а затем самостоятельно решать задачи.
2. Каждый эта
МАТЕМАТИКА
Специальность: 08050062 и название специальности
Формы обучения (очная)
Тула-20011
Методичес
Новости и инфо для студентов